北师大版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）

试卷更新日期：2026-10-25 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 在 $- 1.732 ， \sqrt{2} ， π ， 3.1 \dot{1} \dot{4} ， 2 + \sqrt{3} ， 0.1010001 \dots ， \frac{5}{6}$ 这些数中，无理数的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
2. 下列能作为直角三角形三边长的是（）

A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，7

查看试题解析
3. 如果用 $(2, 5)$ 表示2街5巷的十字路口，那么 $(3, 4)$ 表示（）的十字路口．

A、3街4巷 B、4街3巷 C、3街5巷 D、3街3巷

查看试题解析
4. 下列说法中错误的是（）

A、 $- 27$ 的立方根是 $- 3$ B、实数和数轴上的点是一一对应的 C、已知点 $P (1, 6)$ ， $Q (3, 6)$ ，则直线 $P Q ∥ y$ 轴 D、点 $M$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，则它到 $x$ 轴的距离为 $4$

查看试题解析
5. 下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{25}$

查看试题解析
6. 在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为 $(- 1, 0)$ 、 $(1, 1)$ ，则“强”的坐标为（）

A、 $(3, 3)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(4, 3)$ D、 $(4, 5)$

查看试题解析
7. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（）

A、16m B、18m C、22m D、24m

查看试题解析
8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 $A B C D$ ，正方形 $E F G H$ ，正方形 $M N K T$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 24$ ，则 $S_{2}$ 的值是（）

A、6 B、8 C、10 D、12

查看试题解析

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 如图所示，数轴上点 $A$ 所表示的数为．

查看试题解析
10. 如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 $7 cm$ ，则正方形 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的面积的和是．

查看试题解析
11. 如图，长方体的棱 $A B$ 长为3，棱 $B C$ 长为5，棱 $B F$ 长为2，P为 $C G$ 中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是．

查看试题解析
12. 平面镜成像的本质是轴对称，镜面为对称轴，像与物关于镜面所在的直线成轴对称．如图是人眼看到烛焰在平面镜中成的像，若以桌面所在直线为x轴，以镜面所在直线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某一时刻烛焰S的坐标为 $(- 3, m)$ ，虚像对应点 $S^{'}$ 的坐标为 $(n, 2)$ ，则 $m + n$ 的值为．

查看试题解析
13. 算术平方根有如下运算： $\sqrt{a^{2}} = \{\begin{array}{l} a (a \geq 0) \\ - a (a < 0) \end{array}$ ， ${(\sqrt{a})}^{2} = a (a \geq 0)$ ，故化简： $\sqrt{a^{2}} + {(\sqrt{b})}^{2}$ 可得 $a + b$ 或 $- a + b$ 两种不同结果．给出下列说法：
①化简： $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{b^{2}} + {(\sqrt{c})}^{2}$ ，一共有4种不同的结果；
②化简： $\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + {(\sqrt{x - 1})}^{2} + \sqrt{{(x - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x - 8)}^{2}}$ ，一共有4种不同的结果；
③若 $a_{n} = \sqrt{{(2 n - 17)}^{2}}$ ， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ （n为正整数），则当 $S_{n} = 640$ 时， $n = 32$ ．
以上说法中正确的为（填序号即可）

查看试题解析

三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $(2 \sqrt{3} - 1)^{2} + (\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2)$

查看试题解析
15. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (2, 3)$ ．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在图中，若 $B_{2} (- 4, 2)$ 与点 $B$ 关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时 $C$ 点关于这条直线的对称点 $C_{2}$ 的坐标为______；

(3)、在 $y$ 轴上确定一点 $P$ ，使 $△ A P B$ 的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）

(4)、在y轴上一点M的坐标为 $(0, - 5)$ ，在x轴上有一动点Q满足 $|Q M - Q B|$ 最大，此时Q点的坐标为______，最大值为______．

查看试题解析
16. 如图，在△ABC中， $B C = 2 \sqrt{17}$ ，点D在边AC上，BD=8，CD=2.

(1)、猜想∠ADB的度数，并说明理由；

(2)、若AB=17，求△ABC的面积.

查看试题解析
17. 小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离 $B C$ 为15米；根据手中余线长度计算出 $A B$ 为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离 $C D$ 为 $1.8$ 米．

(1)、求风筝离地面的垂直高度 $A D$ ；

(2)、如果小明想让风筝沿 $D A$ 方向再上升12米， $B C$ 长度不变，则他应该再放出多少米的线？

查看试题解析
18. 我们知道， $\sqrt{2}$ 是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，小数部分是 $\sqrt{2} - 1.$

(1)、 $\sqrt{29}$ 的整数部分是______， $\sqrt{29}$ 的小数部分是______；

(2)、数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： $\{\begin{array}{l} a - b > 0, 则 a > b \\ a - b = 0, 则 a = b \\ a - b < 0, 则 a < b \end{array}$
例如：比较 $\sqrt{19} - 2$ 与2的大小．
$∵ \sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4$ ，又 $∵ 4 < \sqrt{19} < 5$ ，
$∴ \sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4 > 0$ ， $∴ \sqrt{19} - 2 > 2 ．$
请利用上述“比差法”，比较 $8 - \sqrt{23}$ 与3的大小．

查看试题解析
19. 如图，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 分别与x轴、y轴交于B点和A点，点C在线段 $O B$ 上，沿着直线 $A C$ 对折，使点O落在直线 $A B$ 上．

(1)、点B的坐标为______；直线 $A C$ 的表达式为______．

(2)、点P在线段 $C B$ 上，过点P作x轴的垂线分别交直线 $A B$ 和直线 $A C$ 于点M、N，若 $S_{△ A M N} = 10$ ，求出点P的坐标．

(3)、是否存在等腰直角三角形 $△ O D E$ ，使直角顶点D在直线 $A C$ 上，同时点E在直线 $A B$ 上，如果存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

查看试题解析
20. 【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 $A B E D$ 和四边形 $C F G H$ 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知： $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ .
求证： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
证明：由图可知 $S_{正方形 A B E D} = 4 S_{△ A B C} + S_{正方形 C F G H}$ ，
$∵ S_{正方形 A B E D} = c^{2}$ ， $S_{△ A B C} =$ ______，
正方形 $C F G H$ 边长为______，
$∴ c^{2} = 4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2} = 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，
即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【深入思考】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，以 $A B$ 为直角边在 $A B$ 的右侧作等腰直角 $△ A B D$ ，其中 $A B = B D$ ， $∠ A B D = 90 °$ ，过点D作 $D E ⊥ C B$ ，垂足为点E
（2）求证： $D E = a$ ， $B E = b$ ；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形 $A C E D$ 的面积，并证明： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若 $a = 12$ ， $b = 9$ ， “数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．

查看试题解析