北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷三（范围：1-6章）

试卷更新日期：2026-10-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $2 x + 3 = 0$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 2$ C、 $x^{2} + y - 1 = 0$ D、 $x^{2} + 3 x - 7 = 0$

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2. 中国古代数学家刘徽为了计算球体体积创造了一个独特的立体几何图形，称之为牟（mòu）合方盖．可以简化理解为由两个直径相等的圆柱体相互叠加，如图1中间重合的部分．图2所示即为一个牟合方盖．按图示箭头方向进行观察，则俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列长度的四组线段中，不是成比例线段的是（ )

A、3， 9， 2， 6 B、1， 2， 2， 4 C、1， 2， 3， 9 D、1， 2， 4， 8

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4. 下列说法不正确的是（）

A、对角线相等的平行四边形是矩形 B、对角线相互垂直的四边形是菱形 C、菱形的对角线平分一组对角 D、矩形的对角线相互平分

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5. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$

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6. 下列说法正确的是（）

A、若点C是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A B = 2$ ，则 $A C = \sqrt{5} - 1$ B、若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - k + 3 = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值为2 C、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 D、两个正六边形一定位似

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7. 如图，小美同学按如下步骤作四边形 $A B C D$ ：①画 $∠ M A N$ ；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交 $A M$ ， $A N$ 于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接 $B C$ ， $C D$ ， $B D$ ．若 $∠ M A N = 44 °$ ，则 $∠ C D B$ 的度数是（）

A、 $70 °$ B、 $68 °$ C、 $66 °$ D、 $64 °$

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8. 函数 $y = |a x^{2} + b x + c|$ （ $a > 0$ ， $b^{2} - 4 a c > 0$ ）的图象（如图所示）是由函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a > 0$ ， $b^{2} - 4 a c > 0$ ）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $c = - 3$ ；③ $a b c < 0$ ；④将图象向上平移1个单位长度后与直线 $y = 5$ 有3个交点，其中正确的是（）

A、①②④ B、①③ C、①② D、②③

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于，（填写“中心投影”或“平行投影”）

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10. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 4 x - 4 = 0$ 有两个不相等的实数根，请写出满足条件的整数 $a =$ ．（一个即可）

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11. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个解的范围是．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
$- 0.03$
$- 0.01$
0.02
0.04

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12. 如图．在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点D，E分别在边AB和BC上，且 $A D = 4$ ， $C E = 3$ ，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为．

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13. 开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960-1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”.某小组用自制的菱形测高仪 $A B C D$ 测量塔高，其边长为 $0.5 m ， O$ 为对角线的交点， $O B = 0.4 m$ .当测角仪的顶点 $D, A$ 与塔顶端点 $E$ 在同一条直线上时，系在顶点 $A$ 处的铅垂线恰好过点 $O$ 和顶点 $C$ .经测量点 $B$ 到 $E F$ 的距离为 $63.2 m$ ，点 $B$ 到地面的距离为 $1.2 m$ ，则开封铁塔 $E F$ 的高度为米.

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. 用适当的方法解下列方程.

(1)、 $2 {(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9;$

(2)、 $4 x^{2} + 4 x + 1 = 3 (2 x + 1) .$

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15. 在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示．

(1)、画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图；

(2)、如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体．

(3)、如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？

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16. 阳光玫瑰是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2023年年底已经种植阳光玫瑰300亩，到2025年年底阳光玫瑰的种植面积达到432亩．

(1)、求该基地阳光玫瑰种植面积的年平均增长率．

(2)、调查发现，当阳光玫瑰的售价为20元 $/ k g$ 时，每天能售出 $300 k g$ ；销售单价每降低1元，每天可多售出 $50 k g$ ．该基地决定降价促销，已知该基地阳光玫瑰的平均成本为10元 $/ k g$ ，若要使销售阳光玫瑰每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $E D$ 延长线上一点，连接 $A F$ ， $B F$ ，过点 $B$ 作 $B G ∥ A F$ 交 $F E$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $A G$ ．

(1)、求证： $△ A E F ≌ △ B E G$ ；

(2)、已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形 $A G B F$ 的形状，并证明你的结论．
条件①： $E F = \frac{1}{2} C D$ ；
条件②： $E F ⊥ C D$ ．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

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18. 数学活动课上，李志刚老师给出如下问题：
【问题提出】如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是边 $B C$ ， $A B$ 上的点． $F G ⊥ A E$ 交 $C D$ 于点G，求证： $A E = F G$ ；
【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段 $F G$ ，使点F与点B重合，构造全等三角形．
（1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程；
【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题：
（2）如图2，在菱形 $A B C D$ 中，O为对角线 $A C$ 上一点，且 $O A = 2 O C$ ， E，F分别是 $B C$ ， $A B$ 边上的动点，连接 $O F$ 交 $A E$ 于点H，若 $∠ A H F = ∠ B$ ，求 $\frac{O F}{A E}$ 的值；
【学以致用】
（3）如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}$ ， M是 $C D$ 边上一点，P是 $A D$ 边上一点， $P E ⊥ B M$ 交 $B C$ 于点E，连接 $P B$ ， $M E$ ，若 $B M = 6$ ，请直接写出 $P B + M E$ 的最小值．

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19. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是 $△ A B C$ 的三边 $A B 、 A C 、 B C$ 及其延长线上的点，且这三点共线，则满足 $\frac{A D}{D B} \cdot \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ ．这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线 $D E$ 交 $△ A B C$ 的边 $A B$ 于点D，交边 $A C$ 于点E，交边 $B C$ 的延长线于点F．过点C作 $C G ∥ D F$ 交 $A B$ 于点G，
则 $\frac{B F}{F C} = \frac{B D}{D G}$ ， $\frac{A D}{D G} = \frac{A E}{E C}$ （依据）
∴ $\frac{B F}{F C} \cdot \frac{A D}{D G} = \frac{B D}{D G} \cdot \frac{A E}{E C}$ ．
∴ $B F \cdot A D \cdot E C = B D \cdot A E \cdot F C$ ，
即 $\frac{A D}{D B} \cdot \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ ．
情况②：如图2，直线 $D E$ 分别交 $△ A B C$ 的边 $A B, A C, B C$ 的延长线于点D，E，F…

(1)、情况①中的依据指：_______．

(2)、请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．

(3)、如图3，D、E分别是 $△ A B C$ 的边 $A B, A C$ 上的点，且 $A D : D B = C E : E A = 4 : 5$ ，连接 $D E$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点F，那么 $B F : C F =$ ______．

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20. 综合与实践．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
发现：①开始刹车后行驶的距离 $y$ （单位： $m$ ）与刹车后行驶的时间 $t$ （单位： $s$ ）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)、若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；

(3)、若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．

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刹车后行驶的时间	0	1	2	3
刹车后行驶的距离y	0	27	48	63

x	6.17	6.18	6.19	6.20
y	$- 0.03$	$- 0.01$	0.02	0.04