北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-5章）

试卷更新日期：2026-10-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（）

A、（1）处可填 $∠ B = 90 °$ B、（2）处可填 $A B = B C$ C、（3）处可填 $A B = B C$ D、（4）处可填 $∠ A = ∠ C$

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3. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>BP)，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（）

A、 $(4 \sqrt{5} - 4) c m$ B、 $(4 - 2 \sqrt{5}) c m$ C、 $(8 - 2 \sqrt{5}) c m$ D、 $(12 - 4 \sqrt{5}) c m$

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4. 设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2025 x + 2027 = 0$ 的两个实数根，实数 $a$ 、 $b$ 满足： $a {x_{1}}^{2025} + b {x_{2}}^{2025} = 2025$ ， $a {x_{1}}^{2026} + b {x_{2}}^{2026} = 2026$ ，则 $a {x_{1}}^{2027} + b {x_{2}}^{2027}$ 的值为（）

A、 $2027$ B、 $2025$ C、 $- 2027$ D、 $- 2025$

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5. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 为位似中心，若 $O A = 2$ ， $O D = 4$ ， $A C = 3$ ，那么 $D F$ 的长是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 16 cm 、 B D = 12 cm$ ，则菱形边长应为（）

A、 $10 cm$ B、 $12 cm$ C、 $13 cm$ D、 $24 cm$

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7. 活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法：
①将两根小木棍AB，CD垂直摆放；
②将水平木棍CD的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B 重合，树冠E与点A 重合；
③测量此时树 EF 与人HK之间的水平距离FK。
若测得两根小木棍AB与CD的长度比为2：3，FK 的长度为6m，则树EF的高度为（）

A、3m B、4m C、6m D、9m

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的一部分如图所示，其中对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc>0；
②a+c>0；
③2a+3b>0；
$④ a + b > a m^{2} + b m (m \neq 1);$
上述结论中正确结论的个数为( ).

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 某制药厂在九月末进行统计发现：该月已生产 $50$ 万箱抗病毒药物，根据市场调研，计划接下来连续两个月加大投入提高生产量，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为 $x$ ，预计十一月份产量比九月份新增 $128$ 万箱．根据以上信息可以列出的正确的方程为．

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10. 如图，小益利用标杆EF测量旗杆AB的高度，小益、标杆和旗杆都垂直于地面，小益身高CD=1.6米，标杆EF=2.4米，DF=1米，BF=9米，则旗杆AB高度是米.

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11. 如图，正方形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转30°得到正方形A'BC'D'，已知正方形 ABCD的边长为2，则两个正方形重叠部分的面积为.

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12. 为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根 $6 m$ 高的灯柱的影长为 $3 m$ ，在同一时刻，他们测得树的影长为 $2 m$ ，则该树的高度为 $m$ ．

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13. 校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状.数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB=8m，再用两根长度为2m 的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点 C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离 EF=6m，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为。

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. 解下列方程：

(1)、x（2x+1）＝2x+1；

(2)、4x²﹣3x＝x+1．

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15. 如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 $A B$ 表示站立在广场上的小亮，线段 $P O$ 表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．

(1)、在小亮由B处沿 $B O$ 所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为；

(2)、请你在图中画出小亮站在 $A B$ 处的影子；

(3)、当小亮离开灯杆的距离 $O B = 3.2 m$ 时，身高（AB）为 $1.6 m$ 的小亮的影长为 $1.6 m$ ，问当小亮离开灯杆的距离 $O D = 6 m$ 时，小亮的影长是多少m？

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16. 已知关于x的方程 $a x^{2} - (2 a + 1) x + a - 2 = 0$ （a为实数）

(1)、若方程有两个实数根，求a的取值范围；

(2)、若 $x = 2$ 是方程的一个根，抛物线 $y = a x^{2} - (2 a + 1) x + a - 2$ 与x轴交于A、B两点，结合图形（画草图），写出 $y > 0$ 时自变量x的取值范围；

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17. 如图，已知 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上一点，过点D分别作 $D E ∥ A C$ 交 $A B$ 于点E，作 $D F ∥ A B$ 交 $A C$ 于点F，连接 $A D$ ．

(1)、下列条件：
①D是 $B C$ 边的中点；
② $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线；
③点E与点F关于直线 $A D$ 对称．
请从中选择一个能证明四边形 $A E D F$ 是菱形的条件，并写出证明过程；

(2)、若四边形 $A E D F$ 是菱形，且 $A E = 2 ， C F = 1$ ，求 $B E$ 的长．

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18. 已知矩形 $A B C D$ ，点E在射线 $B C$ 上， $C G$ 是矩形外角 $∠ D C F$ 的角平分线．

(1)、如图1，当四边形 $A B C D$ 是正方形，点E是 $B C$ 边的任意一点， $∠ A E G = 90 °$ 且 $E G$ 交 $C G$ 于点G．
①求证： $A E = E G$ ．
②在①的条件下，如图2，连接 $A C$ ，过点E作 $E P ⊥ A C$ ，垂足为P，若正方形边长为4，当四边形 $E C G P$ 是平行四边形时，直接写出 $B E$ 的长_______．

(2)、如图3，四边形 $A B C D$ 是矩形 $(A B > A D)$ ，在线段 $B C$ 的延长线上取一点E，使 $∠ B A E = 45 °$ ， $A E$ 交 $C D$ 于点H，交 $C G$ 于点G，连接 $B G$ ，依题意补全图形，用等式表示线段 $B A$ ， $B C$ ， $B G$ 之间的数量关系，并证明．

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19. 阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“ $\sqrt$ ”，错误的打“ $\times$ ”．
（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____）
（2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____）
问题提出：小明在研究图 $1$ 的时发现，因为点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ 和 $A C$ 上，所以 $△ A D E$ 和 $△ A B C$ 是共角三角形，并且还发现 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{A D \cdot A E}{A B \cdot A C}$ ．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程．
证明：分别过点 $E$ ， $C$ 作 $E G ⊥ A B$ 于点 $G$ ， $C F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，得到图 $2$ ，
$∵ ∠ A G E = ∠ A F C$ ，又 $∵ ∠ A = ∠ A$ ，
$∴ △ G A E ∽$ （_____）， $∴ \frac{E G}{C F} = \frac{A E}{(__②___)}$ ．
$∵ \frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{\frac{1}{2} A D \cdot E G}{\frac{1}{2} A B \cdot C F}$ ，
$∴ \frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{A D \cdot E G}{A B \cdot C F} = \frac{A D}{A B} \cdot \frac{A E}{A C}$ ，
即 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{A D \cdot A E}{A B \cdot A C}$ ．
延伸探究：如图 $3$ ，已知 $∠ B A C + ∠ D A E = 180 °$ ，请你参照小明的证明方法，求证： $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{A D \cdot A E}{A B \cdot A C}$ ．
结论应用：
（1）如图 $4$ ，在平行四边形 $A B C D$ 中， $G$ 是 $B C$ 边上的点且满足 $2 B G = G C$ ，延长 $G A$ 到 $E$ ，连接 $D E$ 交 $B A$ 的延长线于 $F$ ，若 $A B = 6$ ， $A G = 5$ ， $A E = 2.5$ ， $▱ A B C D$ 的面积为 $60$ ，则 $△ A E F$ 的面积是．
（2）如图 $5$ ， $▱ A B C D$ 的面积为 $2$ ，延长 $▱ A B C D$ 的各边，使 $B E = A B$ ， $C F = 2 B C$ ， $D G = 3 C D$ ， $A H = 4 A D$ ，则四边形 $E F G H$ 的面积为．

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