北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-4章）

试卷更新日期：2026-10-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（）

A、主视图与俯视图相同 B、主视图与左视图相同 C、左视图与俯视图相同 D、三种视图都相同

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2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，c=6cm，则d是（　　）

A、1cm B、5cm C、9cm D、12cm

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3. 下列说法不正确的是（）

A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B、有一个角是直角的平行四边形是矩形 C、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

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4. 如图，夜晚冬冬从 A 点走向B 点，他的影子会( ).

A、一直变长 B、一直变短 C、先变长，再变短 D、先变短，再变长

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 中，D在 $C G$ 上， $B C = 1$ ， $C G = 3$ ， H是 $A F$ 的中点，则 $C H$ 长为（）．

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ B、2.5 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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6. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为3， $∠ A D C = 60 °$ ，过点D作 $D E ⊥ A B$ ，交 $B A$ 的延长线于点E，连接 $C E$ 分别交 $B D$ 、 $A D$ 于点G、F，则 $C G$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{5}$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

7. 如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A F$ 与 $B E$ 相交于点G，且 $C G = 4$ ， $F G = 2$ ， $A C = 3$ ， $B D = 4$ ，则 $D E$ 的值为．

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8. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．

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9. 如图，在A时测得一棵大树的影长为3米，B时又测得该树的影长为6米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度是米．

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10. 若m是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的一个根，则 $3 m^{2} - 6 m + 2022$ 的值为．

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11. 将一张以 $A B$ 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 $A B C D$ ，其中 $∠ A = 90 ° ， A B = 9 ， B C = 7 ， C D = 6 ， A D = 2$ ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是．

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

12. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0;$

(3)、（4-x)x=（4-x)

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13. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A 、 B 、 C$ 均在格点上，点 $P$ 不在格点上，是 $A C$ 与格线的交点．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．

(1)、在图1中作 $△ A B C$ 的高线 $B D$ ；

(2)、在图2中的 $B C$ 边上确定点 $E$ ，连接 $A E$ ，使得 $S_{△ A B C} = 3 S_{△ A C E}$ ．

(3)、在图3中的 $B C$ 边上确定点 $Q$ ，连结 $P Q$ ，使得 $P Q ∥ A B$ ．

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14. 图1是地面上由8个棱长为 $1 cm$ 的正方体积木搭成的几何体，回答下列问题：

(1)、在图2中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；

(2)、将图1中小立方块①移走后，从面看到的新几何体的形状图不发生改变，如果保持从这个面看的形状不改变，最多可以再移走个小立方块．正，2

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15. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点

(1)、求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)、若 $A C ⊥ B D ， A B = 8$ ，求四边形ABCD的周长．

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16. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的DEF).小明利用“矩”可测量大树AB的高度.如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m，DE=0.3m，小明的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM=21m，求树高AB.

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17. 定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”．

(1)、下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________；
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形

(2)、如图，在边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 边上一动点（ $E$ 不与 $A$ ， $B$ 重合）， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，过 $F$ 作 $F G ⊥ D E$ 交 $B C$ 于点 $G$ ．
$①$ 判断四边形 $C D F G$ 是否为“奇妙四边形，”并说明理由；
$②$ 若四边形 $B G F E$ 是“奇妙四边形”，连接 $D G$ ，请直接写出 $△ D F G$ 的面积．

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18. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题。

(1)、学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 为例，求解过程如下：
①变形：将方程. $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 变形为x（x+2)=35；
②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为 ${(x + x + 2)}^{2},$ 从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即 $4 x (x + 2) + 2^{2} = 4 \times 35 + 4 = 144,$ 因此，可得新的一元二次方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144,$ ∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5。
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根.但是从新方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144$ 可以得到原方程的另一个根是。

(2)、类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长)。

(3)、拓展应用：一般地对于形如： $x^{2} + a x + b = 0 (a⟩ 0)$ 的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为4。那么a= ， b= ，方程. $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个正根为。

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