《三角形的综合》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习

试卷更新日期：2026-10-25 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部， ∠DAE=∠BAC=90°， AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中一定正确的所有序号是( )
①BD=CE； ②BE=DE； ③BD⊥CE； ④∠ECB+∠ABD=45°

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①③

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2. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $B A = B C = 10$ ， $A C = 12$ ， $D E ∥ B C$ ， P，Q分别是 $B D$ 和 $B C$ 上的任意一点，连接 $P A$ ， $P C$ ， $P Q$ ， $A Q$ ，给出下列结论：
① $P C + P Q \geq A Q$ ；
② $A E + D E = B C$ ；
③ $P C + P Q$ 的最小值是 $\frac{24}{5}$ ；
④若 $P A$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $△ A P D$ 的面积为9．
其中正确的是（　　）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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3. 如图，点 $E$ 在 $△ D B C$ 边 $D B$ 上，点 $A$ 在 $△ D B C$ 内部， $∠ D A E = ∠ B A C = 90 °$ ， $A D = A E$ ， $A B = A C$ ，给出下列结论，① $B D = C E$ ；② $B E = D E$ ；③ $B D ⊥ C E$ ；④ $∠ E C B + ∠ A B D = 45 °$ 其中一定正确的所有序号是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①③

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4. 如图，在△ABC中，AB =AC，∠BAC =120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP =OC有下列结论：①∠APO +∠DCO =30°；②∠APO =∠DCO；③△OPC是等边三角形； ④AB =AO+AP.其中正确的是( )

A、①③④ B、①②③ C、①③ D、①②③④

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5. 如图，在△ABC中， AB=AC， CM 平分∠ACB，与AB 交于点M ， AD⊥BC于点D， ME⊥BC于点E， MF⊥MC 与BC交于点F，给出下列结论： ①∠AMC=3∠ACM； ②若CF=7，则 $D E = \frac{7}{4} .$ 其中下列判断正确的是（）

A、①错， B、对B. ①，②都对 C、①对，②错 D、①，②都错

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6. 如图，等腰三角形ABC， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O 是线段 AD上一点， OP=OC，以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； $③ A C = A O + A P$ ；④ $S_{Δ A B C} = S_{四边形 A O C P}$ ；⑤ $A B = 3 A O$ ，其中正确个数是( )

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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7. 如图，在纸片 $△ A B C$ 中， $∠ B A D = 30 °$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠至 $△ A D B^{'}$ ， $∠ A C B = 2 α$ ，连接 $C B^{'}$ ， $C B^{'}$ 平分 $∠ A C B$ ，则 $∠ A B D$ 的度数是（）

A、 $60 ° + \frac{α}{2}$ B、 $60 ° + α$ C、 $90 ° - \frac{α}{2}$ D、 $90 ° - α$

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8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD²+CD²=4DE²；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF 的面积为S_△ABF ， △BDE的面积为S_△BDE ，则 S_△ABF=S_△BDE ，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题

9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $C D = 3$ ， $A D = B D = 8$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，连接 $C E$ ．若 $∠ A D E = 2 ∠ C B D$ ，且 $B D$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $C E$ 的长为．

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10. 如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为.

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11. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C = 2$ ， $P$ 为 $B C$ 延长线上一动点，以 $A P$ 为直角边在 $A P$ 的右侧作等腰直角 $△ A P Q ， ∠ P A Q = 90 °$ ，连结 $B Q$ ，交直线 $A C$ 于点 $M$ ，若 $S_{△ A B P} = 3 S_{△ A M Q}$ ，则 $C P$ 的长为．

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12. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N. CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结中，①∠AMD=45°；②MC+EM=NE；③EM：MC：NE=1：2：3；④S_△ACD=2S_△DNE·正确的序号是.

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13. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 12$ ， $B C = 9$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上的一点，且 $B D = 3$ ，点 $E$ 是 $A B$ 边上一个动点，连接 $D E$ ．现以 $D E$ 为一边在右侧作等边 $△ E F D$ ，连接 $C F$ ．
（1）当点 $E$ 与点 $B$ 重合时， $C F =$ ．
（2）在点 $E$ 运动过程中，线段 $C F$ 的最小值为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B, B C$ 的垂直平分线 $D E, F G$ 相交于点 $H$ ，连接 $H A$ ， $H B$ ， $H C$ ．

(1)、若 $∠ B A H = 23 °$ ， $∠ C A H = 40 °$ ，则 $∠ H B C$ 的度数为．

(2)、若 $∠ C A H = 34 °$ ，则 $∠ E H G$ 的度数为．

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三、综合题

15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ，把 $△ A B C$ 沿着直线 $A B$ 翻折得到 $△ A B P$ ，过点 $A$ 作 $A E ∥ B C$ 交 $B P$ 于点 $D$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $A D = D B$ ；

(2)、若 $A D = 10$ ， $△ B D E$ 是以 $D B$ 为腰的等腰三角形，求此时 $A E$ 的长；

(3)、若 $B E ⊥ A B$ ，且 $\frac{S_{Δ A P D}}{S_{Δ B D E}} = \frac{5}{6}$ ，求 $\frac{B C}{A E}$ 的值．

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16.

(1)、如图1，点 P 是∠AOB的内部任意一点， $P M ⟂ O A, P N ⟂ O B .$ 垂足分别是M、N， D是OP 的中点.
①若MD=5，则 DN= ▲
②求证： ∠MDN=2∠MON.

(2)、如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，1 $P M ⟂ O A, P N ⟂ O B,$ 垂足分别是M、N，D是OP的中点.问∠MDN与∠MON 有何数量关系，并说明理由.

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17.

(1)、如图1，若 $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ．点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上， $C M$ 为 $△ D C E$ 中 $D E$ 边上的高，连接 $B E$ ．
①求证： $△ A C D ≌ △ B C E$ ．
②求 $∠ A E B$ 的度数以及线段 $C M$ ， $A E$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由．

(2)、如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $C D = 3$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A D C = 45 °$ ，求 $B D$ 的长．

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18. 已知：如图1， △ABC≌ △ABD， ∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4， E为平面内直线CD右侧一点.

(1)、求△ACD的面积.

(2)、当E在AB上且△ECD与△ACD面积相等时，求证：点E为AB的中点.

(3)、如图2，当△CDE的面积为 $\sqrt{3}$ 时，则BE-CE的最大值=.

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19. 如图1，在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC， D是AB边上不与A， B重合的一个定点. AO⊥BC于点O，交CD于点E， FD⊥CD且CD=FD， FD， CA的延长线相交于点M.

(1)、求证： ∠BAO=∠DFC；

(2)、求∠ABF 的度数；

(3)、如图2，若N是AF 的中点，求证： ND=NO.

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20. （1）如图1，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 的内部任意一点， $P M ⊥ O A, P N ⊥ O B$ ．垂足分别是 $M 、 N ， D$ 是 $O P$ 的中点．
①若 $M D = 5$ ，则 $D N =$ __________．
②求证： $∠ M D N = 2 ∠ M O N$ ．
（2）如图2，若 $P$ 是 $∠ A O B$ 的外部任意一点， $P M ⊥ O A, P N ⊥ O B$ ，垂足分别是 $M$ 、 $N, D$ 是 $O P$ 的中点．问 $∠ M D N$ 与 $∠ M O N$ 有何数量关系，并说明理由．

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21. （1）【数学思考】在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A C = 1 ， A B = 2$ ，求中线 $A D$ 的取值范围．小聪同学延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．最后求得了 $A D$ 的取值范围，请你帮他写出求解过程．
（2）【深入探究】如图2， $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 在 $B C$ 边上， $D C = D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ∥ A B$ ，交 $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ 于点 $F ， E F = 3$ ，求 $A C$ 的长．
（3）【拓展延伸】如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $E$ 为 $B C$ 边的中点，过点 $E$ 作 $E F ∥ A D$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ，若 $S_{△ A B C} = 16$ ， $C F = 6$ ，求 $A G$ 的长．

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22. 如图1， P是等边 $△ A B C$ 内一点，连结AP，BP.将线段BP绕点 B顺时针旋转( $6 0^{\circ}$ 得到线段BP'，连结CP'.

(1)、求证： $△ A P B ≅ △ C P^{'} B$

(2)、如图2，连结(CP，PP'.
①当 $∠ A P B = 13 0^{\circ} ，$ 且 $△ C P^{'} P$ 为等腰三角形时，求出 $∠ C P B$ 的度数.
②当PB=2，AB=6，且 $P B ‖ C P^{'}$ '时，请直接写出点A 到点 P'的距离.

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23.

(1)、【图形感知】
如图1，等腰Rt△AOB中， ∠AOB=90°， l是过O点在∠AOB 内部的一条射线，过A作AC⊥l于点C，过B作BD⊥l于点D，若AC=2， CD=3，求BD 的长.

(2)、【问题探究】
如图2，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，C是BD下方一点，连结BC、AC、CD，若 $∠ A C B = 6 0^{\circ} ，$ AC=10， △ACD 的面积为40，求△ABC的面积.

(3)、【拓展启思】
如图3，在△ABC中，. $B A = C A ， ∠ B = 7 5^{\circ} ， B C^{2} = 32 - 8 \sqrt{3} ，$ D是边AB上的点， E、F是边AC上的点， DF∥BC， ∠EDF=30°.若CE=2AD， G是AB 上一动点，连接FG、CG，求FG+CG的最小值.

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24. 在等腰直角 $△ A B C ， A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、如图1，D ， E是等腰直角 $△ A B C$ 斜边 $B C$ 上两动点，且 $∠ D A E = 45 °$ ，将 $A E$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A F$ ，连接 $C F ， D F$ ．
①求证： $△ A E D ≌ △ A F D$ ；
②当 $B E = 3 ， C E = 7$ 时，求 $D E$ 的长．

(2)、如图2， $D$ 是等腰直角 $△ A B C$ 斜边 $B C$ 所在直线上的一动点，连接 $A D$ ，以 $A$ 为直角顶点作等腰直角 $△ A D E$ ，当 $B D = 3 ， B C = 9$ 时，则 $D E =$ ．

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25. $△ A B C$ 和 $△ D B E$ 是两个等腰直角三角形（ $B A = B C, B E = B D, ∠ D B E = ∠ A B C = 90 °$ ）的三角板．

(1)、【问题初探】当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时， $D 、 B 、 C$ 在同一直线上，连接 $A D 、 C E$ ，请证明： $A D = C E$ ；

(2)、【类比探究】当三角板 $A B C$ 保持不动时，将三角板 $D B E$ 绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断 $A D$ 与 $C E$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图（3），在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °, A B = A D, B C = \frac{3}{4} C D$ ，连接 $A C$ ， $B D, ∠ A C D = 45 °$ ，点A到直线 $C D$ 的距离为5，请求出 $△ B C D$ 的面积．

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26. 如图1，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, C B = C A$ ，直线 $E D$ 经过点C，过点A作 $A D ⊥ E D$ 于点D，过点B作 $B E ⊥ E D$ 于点E，可以证明 $△ B E C ≌ △ C D A$ ，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

(1)、如图2，将一块等腰直角三角板 $A B C$ 放置在平面直角坐标系中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C$ ，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为 $(0, 2)$ ， C的坐标为 $(- 1, 0)$ ，则点B的坐标为_______；

(2)、如图3，在平面直角坐标系中，等腰 $Rt △ A B C, ∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C, A B$ 与y轴交点D，点C的坐标为 $(0, - 1)$ ， A点的坐标为 $(2, 0)$ ，求点B的坐标．

(3)、如图4，等腰 $Rt △ A B C, ∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，当点C在x轴正半轴上运动，点 $A (0, a)$ 在y轴正半轴上运动，点 $B (m, n)$ 在第四象限时，作 $B D ⊥ y$ 轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系．

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27. 请阅读下面的材料.

(1)、问题：如图1，若∠A =60°，∠ACB =90°，CD平分∠ACB，探究图中线段BC，AC，AD之间的数量关系.
小明同学的思路是：如图2，在BC上截取CE =CA，连接DE，先证 $△ A C D ≅ △ E C D ，$ 可得AD=DE，再证BE=DE，可得出结论，他的结论是(直接写出结论，不需要证明).

(2)、变式：如图3，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，若AE平分 $∠ B A D ， ∠ A E D = 9 0^{\circ} ，$ 请你探究图中线段AB，AD，CD之间的数量关系并证明.

(3)、拓展：如图4，在△ABC中， $∠ A = 6 0^{\circ} ， ∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点P，点M，N分别为AB，AC上的点，且点P为MN中点，若BM=8，CN=1.5，MN=7，求BC的值.

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