广东省深圳市 2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考测试

试卷更新日期：2026-10-15 类型：月考试卷

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一、单选题（共24分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x + 2 y = 1$ B、 $x^{2} + y = 1$ C、 $x + \frac{1}{x^{2}} = 4$ D、 $x^{2} = 5 x - 1$

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2. 下列说法不正确的是（）

A、对角线相等的平行四边形是矩形 B、对角线相互垂直的四边形是菱形 C、菱形的对角线平分一组对角 D、矩形的对角线相互平分

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3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A C = 10$ ，则 $B D =$ （）

A、10 B、8 C、6 D、12

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4. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $2 x + 3 = 0$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 2$ C、 $x^{2} + y - 1 = 0$ D、 $x^{2} + 3 x - 7 = 0$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，把 $△ A B C$ 沿着 $C D$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $E$ ，连接 $A E$ ，下列结论一定正确的是（）

A、 $A D + D E = A B$ B、 $∠ C D E = 60 °$ C、 $A E + E C = A C$ D、 $A E ⊥ C D$

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6. 如图，延长正方形 $A B C D$ 的 $B C$ 边至点E ，使得 $C E = A C$ ．连结 $A E$ 交边 $C D$ 于点F ，则 $∠ A F C$ 的大小是（ )

A、112.5度 B、120度 C、115度 D、135度

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 中，D在 $C G$ 上， $B C = 1$ ， $C G = 3$ ， H是 $A F$ 的中点，则 $C H$ 长为（）．

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ B、2.5 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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8. 设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2025 x + 2027 = 0$ 的两个实数根，实数 $a$ 、 $b$ 满足： $a {x_{1}}^{2025} + b {x_{2}}^{2025} = 2025$ ， $a {x_{1}}^{2026} + b {x_{2}}^{2026} = 2026$ ，则 $a {x_{1}}^{2027} + b {x_{2}}^{2027}$ 的值为（）

A、 $2027$ B、 $2025$ C、 $- 2027$ D、 $- 2025$

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二、填空题（共15分）

9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点， $∠ A = 30 °$ ，则 $∠ B C D =$ $°$ ．

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是 $B D$ 上一点，过点 $P$ 作 $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，连结 $E F$ ，若 $A B = 2$ ，则 $E F$ 的最小值为．

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11. 设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两个实数根，则 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} =$ ．

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12. 某制药厂在九月末进行统计发现：该月已生产 $50$ 万箱抗病毒药物，根据市场调研，计划接下来连续两个月加大投入提高生产量，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为 $x$ ，预计十一月份产量比九月份新增 $128$ 万箱．根据以上信息可以列出的正确的方程为．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $P$ 是对角线 $A C$ 上的一个动点（不与 $A$ ， $C$ 两点重合），过点 $P$ 作 $E F ⊥ A C$ 分别交 $A D$ ， $A B$ 于点 $E$ ， $F$ ．将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 折叠，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，当 $△ A^{'} B C$ 是等腰三角形时， $A P$ 的长为．

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三、解答题（共61分）

14. 用适当的方法解方程．

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 4$

(2)、 $3 x (x - 1) = 2 (x - 1)$

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15. 如图，点E ， F分别是矩形 $A B C D$ 的 $C D$ 和 $A B$ 边上的点，且 $A E = C F$ ．求证： $D E = B F$ ．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，连接 $O E$ 并延长至点 $F$ ，使 $E F = E O$ ，连接 $A F ， B F$ ．

(1)、求证：四边形 $A F B O$ 是菱形．

(2)、若 $A B = 9$ ， $F O = 12$ ，求菱形 $A F B O$ 的面积．

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17. 已知关于x的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + (m - 5) x - 3 = 0$ （m为实数且 $m \neq 2$ ）．

(1)、求证：此方程总有两个实数根；

(2)、若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于O ，经过点 $O$ 的直线分别交 $B C$ 、 $A D$ 于点E、F ，连接 $A E$ 、 $C F$ ，且 $E F$ 平分 $∠ A E C$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 为菱形；

(2)、若 $E$ 为 $B C$ 的中点， $A E = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $A B$ 的长．

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19. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．

(1)、某电商平台数据显示，该毛绒小马 $2$ 月份销量为 $10$ 万件， $4$ 月份销量已增至 $12.1$ 万件．求该电商平台“哭哭马” $2$ 月到 $4$ 月销量的月平均增长率．

(2)、某商铺以每件 $15$ 元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为 $35$ 元/件时，日销量为 $80$ 件．售价每降低 $1$ 元，日销量可增加 $10$ 件．借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到 $1800$ 元，则每件应降价多少元？

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20. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在对角线 $A C$ 上，连接 $P D$ ．

(1)、【问题提出】
如图①，连接 $P B$ ，若 $P D = 3$ ，则 $P B$ 的长为；

(2)、【问题探究】
如图②，过点 $P$ 作 $P E ⊥ P D$ ，交边 $B C$ 于点 $E$ ，试探究线段 $C D$ ， $C E$ 与 $C P$ 之间存在的数量关系；

(3)、【问题解决】
如图③，四边形 $A B C D$ 是正方形观景平台，对角线 $A C$ 为平台的检修通道，检修通道上有一点 $P$ ，从点 $P$ 安装护栏 $P E$ ， $P F$ ，使得 $P E ⊥ P D$ ， $P F ⊥ A C$ ，护栏端点 $E$ ， $F$ 分别落在平台边缘 $B C$ ， $A B$ 上，连接 $C F$ ，并加装护栏，为统计管材用料，试探究护栏 $C F$ 与 $P E$ 之间存在的数量关系．

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