广东揭阳华侨高级中学2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试卷

试卷更新日期：2026-03-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 1\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 2 < x < 2\}$ B、 $\{x |- 1 \leq x < 1\}$ C、 $\{x |- 1 \leq x \leq 1\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x < 2\}$

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2. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 11) x^{m}$ 为奇函数，则实数 $m =$ （）

A、4 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 3$ 或4

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3. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2}, x \leq 0 \\ \frac{1}{x}, x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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4. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{3}{x}$ ，在下列区间中，一定包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = 2^{x} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$ B、 $f (x) = 2^{x} \cdot |x|$ C、 $f (x) = x (|x| - 1)$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{1 - x^{2}}$

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7. 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知 $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $1 g 3 \approx 0.4771$ ，设 $N = 4^{5} \times 27^{10}$ ，则 $N$ 所在的区间为（）

A、 $(10^{15}, 10^{16})$ B、 $(10^{16}, 10^{17})$ C、 $(10^{17}, 10^{18})$ D、 $(10^{18}, 10^{19})$

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8. 若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增，且 $f (3) = 0$ ，则满足 $\frac{f (x - 2)}{f (x)} \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, - 1] \cup (3, 5]$ B、 $(- 3, - 1) \cup (3, 5)$ C、 $(- \infty, - 1]\cup[5, + \infty)$ D、 $[- 3, - 1]\cup[5, + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“ $\forall x \in R ， |x| + 1 \geq 1$ ” 是真命题. B、“有些平行四边形是菱形” 是真命题. C、命题 $p : \exists x > 2, x^{2} - 3 x - 4 < 0$ 的否定为 “ $\forall x \leq 2 ， x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ ” D、若函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 0]$

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10. 关于函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - 2 x + 3)$ 有以下4个结论，其中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[1, + \infty)$ C、函数 $f (x)$ 的最小值为1 D、函数 $f (x)$ 的图象恒在 $x$ 轴的上方

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (\frac{1}{2}) \neq 0 ，$ 若 $f (x + y) + f (x) f (y) = 4 x y$ ，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = 1$ C、函数 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、函数 $f (x + \frac{1}{2})$ 是减函数

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三、填空题

12. 函数 $f (x) = 2 \log_{a} (4 x + 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象恒过的定点坐标为

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13. 设 $a = {0.3}^{\sqrt{5}}, b = {2.1}^{0.2}, c = {log}_{0.3} \sqrt{3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是．（用“>”号连接）

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14. 若 $f (x) = \ln | a + \frac{1}{1 - x} | + b$ 是奇函数，则 $a =$ ， $b =$ ．

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四、解答题

15. 已知全集 $U = {x | x \leq 4}$ ，集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ ，求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup B$ .

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16. 计算下列各式的值：

(1)、 $27^{\frac{1}{3}} - \sqrt{0.25} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(\frac{1}{6})}^{0}$ ；

(2)、 $\log_{3} \sqrt[4]{27} + \lg 25 + \lg 4 - 7^{\log_{7} 2}$ .

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17. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (3 + x) + {log}_{2} (a - x) (a > 0)$ 为偶函数.

(1)、求a的值；

(2)、若 $f (m - 1) < {log}_{2} 5$ ，求m的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $a \in R$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(3)、若 $f (x) + 2 x \geq 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{e^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；

(3)、若不等式 $f (2^{x} - m) + f (3 - 4^{x}) < 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，对任意 $x, y \in R$ 都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ．当 $x < 0$ 时， $f (x) > 2$ ，且 $f (- 2) = 3$ ．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、若对 $\forall x \in [- 3, 3], \forall m \in[5, 7]$ ，都有 $2 f (x) - f [t^{2} + t^{- 2} - m (t + t^{- 1})] \leq 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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