广东深圳市盐田区外国语学校2026—2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

试卷更新日期：2026-10-13 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项是正确的)

1. 近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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2. 下列说法错误的是（ )

A、若a>b，则 ac>bc B、若a>b，则a+3>b+3 C、若 $\frac{a}{1 + c^{2}} > \frac{b}{1 + c^{2}},$ 则a>b D、若a+3>b+3，则a>b

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3. 下列长度的四组线段中，不是成比例线段的是（ )

A、3， 9， 2， 6 B、1， 2， 2， 4 C、1， 2， 3， 9 D、1， 2， 4， 8

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4. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是（ )

A、k≥-1 B、k≥-1且k≠0 C、k>-1 D、k>-1且k≠0

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5. 小丽用若干个边长相等的正三角形和正方形作平面镶嵌，若每一个顶点处有m个正三角形和n个正方形，则 $\frac{m}{n}$ 的值可以是( )。

A、4 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 一块矩形绸布的长AB=a米，宽AD=1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（ )

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ )

A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、以上都有可能

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8. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A 出发沿AB 向点B运动，移动到点B停.延长EO交CD于点 F，则四边形AECF形状的变化依次为（ )

A、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B、平行四边形→菱形→正方形→矩形 C、平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 D、平行四边形→正方形→菱形→矩形

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分)

9. 深圳与北京的实际距离约1600千米，在比例尺为1：4000000的地图上，两地的图上距离约厘米.

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10. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{2 x - y}{y} =$ ．

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11. 学校里一段艺术连廊是由完全相同的砖块密铺而成，如图，每块砖可看作五边形ABCDE，其中∠C=∠E=90°， ∠A=∠B=∠D，则∠A的度数为度．

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12. 如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，已知直线EF是线段BD的垂直平分线，EF分别交AD、BC于点E、F，连接BE。若▱ABCD的周长为20，则△ABE的周长为。

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13. 如图，在△ABC中， ∠A=60°， BD为AC边上的高， E为BC边的中点，点F在AB边上， ∠EDF=60°，若 $A F = 4, B F = \frac{20}{3},$ 则BC边的长为.

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三、解答题（共7小题，共61分。)

14. 解方程组

(1)、 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$

(2)、 $4 {(x + 1)}^{2} = 9 {(x - 2)}^{2}$

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15. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 4) x + 2 k = 0 .$

(1)、求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两根为x₁ ， x₂ ，且满足. $x_{1} + x_{2} - 3 x_{1} x_{2} = 0,$ 求k的值.

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16. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹)

(1)、请在图①中，在菱形ABCD作出其内接矩形 EFGH，使得点E， F， G， H分别在边AB，BC， CD， AD上.

(2)、请在图②中，在矩形ABCD作出其内接菱形EFGH，要求点E， F， G， H分别在边AB，BC， CD， AD上.

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17. 第十五届全国运动会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神.我们在电商平台和实体店了解其销售情况.

(1)、统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若每个月的平均增长率相同，求月平均增长率；

(2)、对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件.通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元?

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18. 如图，已知△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，连接DE、DF和EF。

(1)、若AB=10，BC=8，AC=7，求△DEF的周长；

(2)、连接AF，求证：AF和DE互相平分。

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19. 如图1，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”)，该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成.某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式（ $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b,$ 并将其命名为“弦图不等式”.

(1)、以下是他们的发现过程，请结合图补全他们的思考：
设直角三角形的两条直角边分别为a、b，
①大正方形ABCD 的面积可表示为，四个直角三角形的面积和可表示为（用含有a和b的字母表示)；
②如图1，当a<b时，则大正方形ABCD的面积四个直角三角形面积和（填“>”、“<”或“=”)；
③如图2，当a=b时，则大正方形ABCD的面积四个直角三角形面积和（填“>”、“<”或“=”)；
④综上所述，可得到“弦图不等式”.

(2)、若a=x， $b = \frac{4}{x}$ 时，请利用“弦图不等式”，求代数式 $x^{2} + \frac{16}{x^{2}} (x⟩ 0)$ 的最小值，并求出此时x的值；

(3)、为保障2026年深圳APEC会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区.如图3，停放区面积为（ $6.48 m^{2}$ （即长方形 ABCD的面积)，其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则AB、BC、CD三条边的和的最小值是多少?若一辆APEC纪念款单车长度为1.7m，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内.

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20. 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形.“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”.
【探索实践】

(1)、【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（   ）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

(2)、【任务二】如图1，四边形ABCD是“垂等四边形”，  ∠BCD=90°， AB=AC，点E， F分别是 BD， AD的中点，连接CE， EF，以CE， EF为邻边作平行四边形 CEFG.
求证：    ∠ABD=∠ACE；

(3)、求证：四边形 CEFG为正方形.

(4)、【任务三】如图2，在矩形ABCD中， AD=2AB，将△ABD沿对角线 BD翻折至△EBD，点F在BD上，且满足BF=CE，点G为DE中点，求证：四边形CDFG是“垂等四边形”.

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