浙教版数学九年级上册 4.8 图形的位似三阶训练

试卷更新日期：2026-10-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（6，-3），以O为位似中心，作△OAB的位似图形△OA₁B₁ ，使△OAB与△OA₁B₁的面积比为9，则点A的对应点A₁的坐标是（）

A、（18，-9） B、（2，-1） C、（18，9） D、（-2，1）

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2. 如图， △OAB与△OMN是以点O为位似中心的位似图形，若A (2， 1)， B(3， 0)， N(9， 0)，则点 M的坐标为( )

A、(6， 3) B、(5， 4) C、(5， 3) D、(4， 2)

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3. 如图， △ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OB： OE=1： 2，则△ABC与△DEF的面积之比是( )

A、1： 2 B、2： 1 C、1： 4 D、4： 1

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4. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 是位似中心，若 $△ A B C$ 的面积为 4，且 $O A = 2 A D$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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5. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，正方形OABC与正方形DEFG关于点P位似.若点B、E、G的坐标分别为（2，2）、（-1，1）、（-2，0），则点P的坐标为（　　）

A、（-3，0） B、（-4，0） C、（-5，0）或 $(- \frac{2}{3} ， \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3} ， \frac{2}{3})$ 或（-4，0）

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6. 如图，以点 $O$ 为位似中心，把 $△ A B C$ 的各边长放大为原来的2倍得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，下列说法中错误的是（）

A、 $A O : A A^{'} = 1 : 3$ B、 $B C ∥ B^{'} C^{'}$ C、点 $B$ ， $O$ ， $B^{'}$ 三点在同一条直线上 D、 $S_{△ A B C} : S_{△ A^{'} B^{'} C^{'}} = 1 : 2$

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7. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (4, 2), B (2, 0), C (0, 0)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，可以得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(1, 2)$ 或 $(- 1, - 2)$ C、 $(2, 1)$ 或 $(- 2, - 1)$ D、 $(- 1, - 2)$

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8. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形， $O C : O F = 1 : 3$ ，若 $S_{△ A B C} = 3$ ，则 $S_{△ D E F}$ 为（）

A、6 B、9 C、27 D、48

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二、填空题

9. 如图，五边形 $A B C D E$ 与五边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 是位似图形， $O$ 为位似中心．若 $A A^{'} = 2 A^{'} O$ ，则 $B C$ 与 $B^{'} C^{'}$ 的数量关系为．

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点为 $O (0 ， 0) ， A (4 ， 3) ， B (3 ， 0)$ ，以点O为位似中心，在第三象限内作与 $△ O A B$ 的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形 $△ O C D$ ，则边 $C D$ 的长为．

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11. 如图， △ABC 关于 BC 的中点 O 作位似图形△EFG，若点 E恰为△ABC的重心，则△EFG与△ABC的周长比为。

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12. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为 (3， 2)， (-1， -1)，则两个正方形的位似中心的坐标是.

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三、解答题

13. 【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形。
【实验原理】如图1，在射线OA， OB， OC上分别取点D， E， F，使OD=kOA，OE=kOB，OF=kOC，连接D， E， F，则△DEF与△ABC位似，相似比为k。

(1)、【实验初探】
如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋OQ的一端Q处，另一端O固定在图形外。拉动铅笔，使标记好的 OQ中点 P 沿图形的边缘运动。当点 P 沿周长为8cm 的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为cm。

(2)、【实验制作】
如图3，在正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出△ABC的内接正方形HMNG，使得点H在AB上，点M， N在BC上，点G在AC上。小明取一个格点正方形DEFP，D在AB上，E，F在BC上，以点B为位似中心，连接BP并延长交AC 于点 G，点G 即为所求作正方形HMNG 的一个顶点。
① 请以点 C为位似中心，求作出正方形HMNG 的另一个顶点 H；
② 若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形HMNG的边长。

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14. 如图 $1$ 将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α$ 角度后，与 $△ A D E$ 构成位似图形，则称 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”．
如图 $1$ ， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 互为“旋转位似图形”
②若 $α = 26 °$ ， $∠ B = 100 °$ ， $∠ E = 29 °$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为________；
③若 $A D = 6$ ， $D E = 8$ ， $A B = 4$ ，则 $B C$ 的长度为________；
（2）知识运用：
如图 $2$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．求证： $△ A C D$ 与 $△ A B E$ 互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图 $3$ ， $△ A B C$ 为等腰直角三角形，点 $G$ 为斜边 $A C$ 的中点，点 $F$ 是 $A B$ 上一点， $D$ 是 $G F$ 延长上一点，点 $E$ 在线段 $G F$ 上，且 $△ A B D$ 与 $△ A G E$ 互为“旋转位似图形”，若 $A C = 6$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $D E$ 和 $B D$ 的长．

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15. 我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为 $\frac{1}{2}$ ，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”．

(1)、等边三角形的“半似位线”的条数为条．

(2)、一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是．

(3)、若一个三角形的三边长之比为 $1 : 2 : \sqrt{5}$ ，则这个三角形的“半似位线”的条数为条．

(4)、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 40$ ， $B C = 30$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒5个单位长度的速度，沿 $A B$ 向终点 $B$ 运动；在点 $P$ 出发的同时，点 $Q$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $a$ 个单位长度的速度，沿折线 $A C — C B$ 向终点 $B$ 运动．设运动时间为 $t$ 秒．
①用含 $t$ 的代数式表示 $P B$ 的长为▲ ．
②当 $P Q$ 为 $△ A B C$ 的“半似位线”时，直接写出 $a$ 的值．

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