浙教版数学九年级上册 4.6 相似三角形的应用三阶训练

试卷更新日期：2026-10-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在三角形纸片中， $∠ A = 80 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ .将 $△ A B C$ 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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2. 某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点 $E$ ，如图，已知标杆 $C D = 1.2 m$ ，测得 $C E = 1.6 m$ ， $B C = 12.4 m$ ，则树高 $A B$ 为（）

A、 $9.3 m$ B、 $10.5 m$ C、 $16.5 m$ D、 $18.7 m$

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3. 如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（　　）

A、三角形相似的判定定理 B、三角形相似的性质定理 C、三角形全等的性质定理 D、三角形全等的判定定理

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4. 图 1 是捣谷物的＂碓＂，图 2 是其示意图， $O$ 为转动支点， $C D ⊥ A B$ 于点 $B, A B$ 与水平线 $M N$ 夹角 $∠ B O M = 30^{\circ}, B C = 40 c m, O B = 120 c m$ ， $O A = 40 c m$ ．当点 $C$ 绕点 $O$ 旋转下落到 $M N$ 上时，点 $A$ 上升（）

A、 $2 \sqrt{10} cm$
B、 $(20 - 2 \sqrt{10}) c m$ C、 $4 \sqrt{10} cm$
D、 $(20 - 4 \sqrt{10}) c m$

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5. 《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　）

A、150步 B、200步 C、250步 D、300步

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6. 如图，OP 和O'P'是两个相距20米且高度都为3a米的路灯，身高a米的小明(AB)晚上在路灯下沿线段OO'来回散步，则他身体前后的两个影子之和DC的长为( )

A、6m B、8m C、10m D、12m

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7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里 $= 300$ 步）你的计算结果是：出南门（）步而见木．

A、205 B、215 C、305 D、315

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8. 如图，一张等腰三角形纸片，底边长12 cm，底边上的高为12 cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为2cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

A、第4张 B、第5张 C、第6张 D、第7张

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二、填空题

9. 坐落于巴中市南龛山顶的飞霞阁是当地的标志性建筑．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 $A B C$ ），小明受到启发，利用“矩”测量飞霞阁 $D E$ 的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使 $A C$ 保持水平，点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 在同一直线上， $∠ A F E = ∠ D E F = 90 °$ ，测得 $A B = 0.15 m$ ， $B C = 0.2 m$ ， $A F = 1.6 m$ ， $E F = 28.05 m$ ，则飞霞阁的高度 $D E =$ $m$ ．

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10. 土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根 $6$ 尺长的杆子 $A B$ ，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角 $∠ C A B$ 和第二时刻的太阳光线与地面的夹角 $∠ A D B$ 相等，测得第一时刻的影长 $B C$ 为 $1.5$ 尺，则第二时刻的影长 $D B$ 为尺．

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11. 图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图， $O M$ 代表固定支架，点 $C$ ，点 $D$ 分别代表水桶和重物， $A C ， B D$ 是固定长度的麻绳，绳长 $A C = 3$ 米，杠杆 $A B = 6$ 米， $O B : O A = 1 : 3$ ，当水桶 $C$ 的位置低于地面0.5米时（如图3），支架 $O M$ 与绳子 $B D$ 之间的距离 $O H$ 是1.2米，则这个桔槔支架 $O M$ 的高度为米．

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12. 如图， $△ A B C$ 中，点P从A点出发，沿着折线 $A - B - C$ 的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为 $(5,4)$ ，则点P在运动过程中， $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是.

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13. 如图，等边△ABC中，点D ， E分别在边CA ， CB上，且CD= AE ， BD交CE于P ， PF平分∠BPC交BC于点F ，若AB=2 $\sqrt{3}$ ， PF= 1，则 CE= 。

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三、解答题

14. 根据以下素材，完成探索任务．

探究斜坡上两车之间距离
素材1		图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用 $B M$ 表示，地面用 $A N$ 表示，斜坡用 $A B$ 表示．已知 $B M ∥ A N$ ，高架路面 $B M$ 离地面的距离 $B H$ 为20米，斜坡 $A B$ 长为 $52$ 米．
素材2		如图②，在素材1中的斜坡上和点 $B$ 处分别有指示路牌 $S Q$ 和 $B P$ ，且 $S Q ⊥ A B$ ， $B P ⊥ B M$ ， $B P = 5.5 m$ ，当太阳光线与指示路牌顶端P， $Q$ 所在直线平行时， $S Q$ 的影子部分落在地面 $A N$ 上，其中 $A T$ 为影子．
素材3		为响应号召节约成本，指示路牌 $B P$ 的高度按需调整为 $5.2 m$ ．如图③，矩形 $E C K G$ 为一辆大巴车的侧面示意图， $C K$ 长为 $10$ 米， $E C$ 长为 $3.2$ 米．如图④，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形 $E C K G$ 的顶点 $K$ 与点 $B$ 重合．小李驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小李的眼睛到斜坡的距离 $F D$ 为 $1.2$ 米．
问题解决	任务一	如图①， $\frac{B H}{A H} =$ ______．
	任务二	如图②，求影子AT的长度．
	任务三	如图④，当小李正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F在同一条直线上）时，试求小李距大巴车尾 $E C$ 的距离 $C D$ ．

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15. 某学习小组在开展研究等腰直角三角形与一些特殊图形之间关系的活动时，发现它们之间存在角和边的多种关系．
【初步探索】（1）如图1，两个全等的等腰 $△ A B C$ 和 $△ H G F$ ， $∠ B A C = ∠ H G F = 90 °$ ，按如图所示的位置摆放 $($ 图中所有的点、线都在同一平面内 $)$ ，点 $A$ 与点 $H$ 重合， $H G$ 和 $H F$ 分别交 $B C$ 于点 $M$ 、 $N$ ；
①直接写出图中一对相似而不全等的三角形：______；
②直接写出线段 $B M$ 、 $M N$ 、 $C N$ 存在的数量关系：______；
【迁移探索】（2）如图2，已知等腰 $△ H G F$ 中， $∠ H G F = 90 °$ ，将其顶点 $H$ 与正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 重合， $A G$ 分别交 $B C$ ， $B D$ 于点 $M$ ， $P$ ， $A F$ 分别交 $B C$ ， $C D$ 于点 $N$ ， $Q$ ；
①证明 $△ A M N ∽ △ A Q P$ ；
②猜想线段 $B P$ 、 $P Q$ 、 $C Q$ 的数量关系，并证明你的猜想；
【运用探索】（3）如图3，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $D C$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ， $A D = 2 A B = 4 B E = 4 a$ ，求 $A F$ 的长． $($ 用含 $a$ 的式子表示 $)$

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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