浙教版数学九年级上册 4.2 由平行线截得的比例线段三阶训练

试卷更新日期：2026-10-04 类型：同步测试

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一、选择题

1. 无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（ $A B$ ） $1.8 m$ 的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（ $A C$ ）为 $2 m$ ，无人机的影长（ $A E$ ）为 $1 0m$ ．请问此时无人机高度（ $A D$ ）是（）

A、 $8.5 m$ B、 $8 m$ C、 $9.5 m$ D、 $9 m$

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2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC =90°，AC=10，D 为AC 的中点，连结 BD，E为BD 上一点，BE=3，过点 E 作EM⊥AB于点M，EN⊥BC 于点 N，记 AM 的长为x，NC 的长为y.当x，y 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( )

A、x+y B、xy C、πy D、 $x^{2} + y^{2}$

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3. 如图，在正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画弧，交以AB为直径的半圆于点M，连接DM并延长，交BC于点N，若AB=8，则MN的长为（）

A、1 B、2 C、2.5 D、3

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4. 如图，在正方形ABCD中，点P在以BC为直径的圆弧上，将△PBC绕点B逆时针旋转得到△GBA，延长CP分别交AB，AG于点 E，F.若 $A F = 2, B C = \sqrt{34},$ 则 $\frac{A E}{E B}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、2

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6. 如图，点D、点F在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上，点E在边 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，且 $\frac{A D}{D B} = \frac{4}{3}$ ，要使得 $E F ∥ C D$ ，还需添加一个条件，这个条件可以是（）

A、 $\frac{D F}{A D} = \frac{3}{7}$ B、 $\frac{A E}{A C} = \frac{4}{7}$ C、 $\frac{E F}{C D} = \frac{4}{7}$ D、 $\frac{B D}{A D} = \frac{3}{4}$

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7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AC=1，点 D 在BC 上，点E 在AB 上，使得△ADE 是等腰直角三角形，∠ADE=90°，则 BE 的长度为( ).

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2} (\sqrt{3} - 1)$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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二、填空题

8. 在 $∆ A B C$ 中， $∠ A B C = 150 °$ ，将 $∆ A B C$ 沿 $A B$ 折叠得到 $∆ A B D$ ，延长 $C B$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，若 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{B C}{A C}$ 的值为。

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9. 如图，把一张矩形纸片 $A B C D$ 沿 $B E$ 折叠，点 $A$ 的对应点为 $F$ ， $E F$ 交 $B D$ 于点 $G$ ．若点 $G$ 为 $E F$ 的中点， $B F$ 平分 $∠ D B C$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ ．

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = 6$ ， $C E = 1$ ，在边 $A D$ 上取一点 $P$ ．连接 $B P$ 和 $P E$ ，过 $B$ 作 $B F ⊥ P E$ 交 $C D$ 于 $F$ ，当 $∠ P B F = 45 °$ 时， $A P$ 的长为．

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11. 如图所示为一架梯子的示意图，其中AA₁∥ $B B_{1} ‖C C_{1}‖ D D_{1} ，$ 且AB=BC=CD.为使其更稳固，在点 A，D₁间加绑一条安全绳(线段AD₁)，AD₁交BB₁于点E.若AE=0.4m，则 $A D_{1} =$ $m .$

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三、解答题

12. 定义：如题图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

(1)、已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AB=12，AM=4，求BN的长.

(2)、如图2，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上， $B E = \frac{1}{2} B C, D F = \frac{1}{3} C D,$ AE、AF分别交BD于点M、N.求证：M、N是线段BD的勾股分割点.

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13. 【问题提出】“黄金分割点”：如图 1，点 P 将线段 AB 分成两部分 $(AP > BP)$ ，若 $\frac{BP}{AP} = \frac{AP}{AB}$ ，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

(1)、【初步感知】
①如图1，若AB=1，求线段PB的长；
②如图2，△ABC中，D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形 $(S_{△ ABD} > S_{△ ACD})$ ，若 $\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}} = \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}$ ，则称AD为△ABC的黄金分割线.
求证：点 D 是线段 BC 的黄金分割点；

(2)、【类比探究】如图2，若 $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$ ，求证：AD 是 $∠ BAC$ 的角平分线.

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浙教版数学九年级上册 4.2 由平行线截得的比例线段 三阶训练

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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