2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试卷

试卷更新日期：2018-03-23 类型：竞赛测试

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1. 一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）

A、42条 B、54条 C、66条 D、78条

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2. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°则∠BOE=（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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3. 设方程 $(x - a) (x - b) = 0$ 的两根是c、d，则方程 $(x - c) (x - d) = 0$ 的根是（）

A、a，b B、-a，-b C、c，d D、-c，-d

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4. 若不等式 $2 | x - 1 | + 3 | x - 3 | \leq a$ 有解，则实数 $a$ 最小值是（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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5. 若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）

A、18 B、24 C、30 D、36

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6. 不定方程 $x^{2} - 2 y^{2} = 5$ 的正整数解 $(x, y)$ 的组数是（）

A、0组 B、2组 C、4组 D、无穷多组

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7. 二次函数 $y = x^{2} - a x + 2$ 的图像关于 $x = 1$ 对称，则 $y$ 的最小值是.

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8. 已知△ABC中，AB= $\sqrt{39}$ ；BC=6；CA= $\sqrt{3}$ .点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是.

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9. 一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其 $10 n - 1$ 个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是.

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10. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + (3 a - 1) x + 2 a^{2} = 0$ 的两个实数根，使得 $(3 x_{1} - x_{2}) (x_{1} - 3 x_{2}) = - 80$ 成立，求其实数 $a$ 的可能值。

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11. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像于x轴交于点M $(x, 0)$ ，N $(x_{2}, 0)$ ，且经过点A（0，1），其中 $0 ≺ x_{1} ≺ x_{2}$ ，过点A的直线 $l$ 交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，切 $S_{Δ B M N} = \frac{5}{2} S_{Δ A M N}$ ，求解析式.

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12. 如图.AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB=90°。

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