2011年全国初中数学竞赛试卷

试卷更新日期：2018-03-23 类型：竞赛测试

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1. 设 $a = \sqrt{7} - 1$ ，则代数式 $a^{2} + 2 a - 12$ 的值为（）.

A、-6 B、24 C、 $4 \sqrt{7} + 10$ D、 $4 \sqrt{7} + 12$

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2. 在同一直角坐标系中，函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）与 $y = k x + k$ （ $k \neq 0$ ）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（）

A、1 B、7 C、10 D、15

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4. 若 $x > 1$ ， $y > 0$ ，且满足 $x y = x^{y} ， \frac{x}{y} = x^{3 y}$ ，则 $x + y$ 的值为（）.

A、1 B、2 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{11}{2}$

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5. 设 $S = \frac{1}{1^{3}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots + \frac{1}{99^{3}}$ ，则 $4 S$ 的整数部分等于（）.

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是。

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7. 若关于 $x$ 的方程 $(x - 2) (x^{2} - 4 x + m) = 0$ 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 $m$ 的取值范围是.

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8. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是.

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9. 如图，点 $A ， B$ 为直线 $y = x$ 上的两点，过 $A ， B$ 两点分别作y轴的平行线交双曲线 $y = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）于 $C ， D$ 两点. 若 $B D = 2 A C$ ，则 $4 O C^{2} - O D^{2}$ 的值为.

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10. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC的周长为.

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11. 已知：不论k取什么实数，关于x的方程 $\frac{2 k x + a}{3} - \frac{x - b k}{6} = 1$ （a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + c x + a = 0$ 的两个整数根恰好比方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的两个根都大1，求 $a + b + c$ 的值.

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13. 如图，点 $A$ 为 $y$ 轴正半轴上一点， $A ， B$ 两点关于 $x$ 轴对称，过点 $A$ 任作直线交抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2}$ 于 $P$ ， $Q$ 两点

(1)、求证：∠ $A B P$ =∠ $A B Q$ ；

(2)、若点 $A$ 的坐标为（0，1），且∠ $P B Q$ =60º，试求所有满足条件的直线 $P Q$ 的函数解析式.

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14. 如图，△ABC中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 2 A C$ ．点P在△ABC内，且 $P A = \sqrt{3} ， P B = 5 ， P C = 2$ ，求△ABC的面积．

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