广西壮族自治区来宾市第八中学2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

试卷更新日期：2025-11-26 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 若直线 $4 x - 6 y + t = 0$ 与直线 $t x - 3 y - 1 = 0$ 平行，则 $t =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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3. 已知空间中三点 $A (0, 0, 0)$ ， $B (- 1, - 2, 2)$ ， $C (0, 3, 2)$ ，则 $\vec{A B} \cdot (\vec{B C} - 2 \vec{A C}) =$ （）

A、7 B、 $- 7$ C、9 D、 $- 9$

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4. 在空间直角坐标系中， $M (1, 3, 4)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $M_{1}$ ， $N (2, - 1, - 4)$ 关于平面 $O y z$ 的对称点为 $N_{1}$ ，则 $|M_{1} N_{1}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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5. 已知圆 $C$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $D : {(x + 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）内切，则 $r =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥 $P - A B C D$ 是阳马， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，且 $\vec{P E} = \frac{1}{4} \vec{E C}$ ， $F$ 为 $C D$ 的中点，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{3}{10} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b} - \frac{4}{5} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{10} \vec{a} - \frac{4}{5} \vec{b} - \frac{4}{5} \vec{c}$ C、 $\frac{3}{5} \vec{a} - \frac{4}{5} \vec{b} + \frac{4}{5} \vec{c}$ D、 $\frac{3}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b} + \frac{4}{5} \vec{c}$

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7. 已知过点 $(2, - 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 7 = 0$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $|P Q| = 2 \sqrt{7}$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $y = - 1$ B、 $x = 2$ C、 $x = 2$ 或 $y = - 1$ D、 $y = \pm \sqrt{3} (x - 2) - 1$

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8. 已知点 $A (2, 2)$ ， $B (1, - 5)$ ，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = a$ ，若圆 $O$ 上存在点 $Q$ ，使得 $∠ A Q B$ 为锐角，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2]$ B、 $(0, 2)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列四个命题为真命题的是（）

A、经过定点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 且方向向量为 $\vec{n} = (1, k)$ 的直线都可以用方程 $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ 表示 B、经过任意两个不同的点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 的直线都可以用方程 $(x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ 表示 C、不经过原点的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 来表示 D、方程 $A x + B y + C = 0 (A, B$ 不同时为零 $)$ 可以表示平面内的任意一条直线

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10. 若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ ， $2 \vec{b}$ ， $\vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{c} - \vec{b}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$

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11. 已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 的重心， $P$ 为线段 $C N$ 上一动点，则下列结论正确的是（）

A、若 $A P + B P$ 取得最小值，则 $C P = P N$ B、若 $C P = 3 P N$ ，则 $D P ⊥$ 平面 $A B C$ C、若 $D P ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B D$ 外接球的表面积为 $24 π$ D、直线 $M N$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 一条光线从点 $M (0, 2)$ 射出，经 $x$ 轴反射，反射光线刚好经过点 $N (5, 3)$ ，则反射光线所在直线的方程为.

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13. 过点 $A (4, - 5)$ 作圆 $C : {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 75$ 的切线，切点为 $B$ ，则 $|A B| =$ .

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14. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，若 $P C = 2 P A = 2 P B = 2$ ， $P A ⊥ P B$ ， $∠ A P C = ∠ B P C = 60 °$ ，则点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知直线 $l_{1}$ ： $y = k x - \sqrt{3}$ ，直线 $l_{2}$ ： $3 x + 2 y - 3 = 0$ .

(1)、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行，求 $k$ 的值；

(2)、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点位于第一象限，求 $l_{1}$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围.

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16. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60^{°}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{A C_{1}}$ 的值；

(2)、若点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{B C} = 2 \vec{B M}$ ， $\vec{D N} = 3 \vec{N D_{1}}$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(3)、求异面直线 $M N$ 与 $A C$ 所成角的余弦值．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、若直线 $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为30°，求直线 $B C$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值.

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18. 已知点 $A (0, - 3)$ ， $B (0, 1)$ ，曲线 $C_{1}$ 是以线段 $A B$ 为直径的圆.

(1)、求 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ ： $x = m |y| + 2$ 有且仅有四个公共点，求 $m$ 的取值范围.

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19. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，把 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起至 $△ P A E$ 的位置，变成如图2所示的四棱锥 $P - A B C E$ .

(1)、设 $F$ 是 $P A$ 的中点，证明： $E F / /$ 平面 $P B C$ .

(2)、设 $P B = \sqrt{3}$ ，在线段 $A B$ 上是否存在点 $Q$ ，使得平面 $P Q C$ 与平面 $P E C$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ？若存在，求出 $A Q$ 的长；若不存在，请说明理由.

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