沪科版数学八年级上册13.2命题与证明分层练习

试卷更新日期：2026-09-20 类型：同步测试

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一、基础夯实

1. 下列语句中，是定义的是 ( )

A、连接A，B两点 B、等角的余角相等吗 C、内错角相等，两直线平行 D、整数与分数统称为有理数

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2. 下列四个命题中，是真命题的是（）

A、同旁内角相等，两直线平行 B、两锐角之和一定是钝角 C、两直线平行，同位角相等 D、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

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3. 下列句子中，属于命题的是（）

A、垂线段最短 B、作一个角等于已知角 C、将16开平方 D、负数小于正数吗？

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4. 要说明命题“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ”是假命题，能举的一个反例是（）

A、 $a = 3 ， b = 2$ B、 $a = 4 ， b = - 1$ C、 $a = 1 ， b = 0$ D、 $a = 1 ， b = - 2$

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5. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：.

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6. 写出一个 $a$ 的值，使命题“ $| a - 1 | = a - 1$ ”是假命题，这个值可以是．

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7. 把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式是，它是命题．（填“真”或“假”）

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8. 如图，探究∠BDC、∠1、∠2、∠3之间的关系

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9. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ C$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ 。求证： $D E / / B C$ 。请补充完成下列证明。
证明： $∵ ∠ 2 + ∠ 3 = 180 ° ($ 已知 $)$ ，
$∠ 2 + ∠ D F E = 180 ° ($ 平角的定义 $)$ ，
$∴$ $($ 同角的补角相等 $)$ ，
$∴ D F / / A C ($ $)$ ，
$∴ ∠ 1 =$ $($ $)$ ，
又 $∠ 1 = ∠ C ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ C =$ $($ 等量代换 $)$ ，
$∴ D E / / B C ($ $)$ 。

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10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高， $∠ B C D = 35 °$ ．
（1）求 $∠ E B C$ 的度数；
（2）求 $∠ A$ 的度数．
对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1） $∵ C D ⊥ A B$ （已知），
$∴ ∠ C D B =$ ___________．
$∵ ∠ E B C = ∠ C D B + ∠ B C D$ （），
$∠ B C D = 35 °$ （已知），
$∴ ∠ E B C =$ ___________ $+ 35 ° =$ ___________（等量代换）．
（2） $∵ ∠ E B C = ∠ A + ∠ A C B$ ，
$∴ ∠ A = ∠ E B C -$ ___________（等式的性质）．
$∵ ∠ A C B = 90 °$ （已知），
$∴ ∠ A =$ ___________ $- 90 ° =$ ___________（等量代换）．

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二、巩固提高

11. 下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是 ( )

A、公理和定理都是真命题 B、公理就是定理，定理也是公理 C、公理和定理都可以作为推理论证的依据 D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明

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12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分线，则∠ADC的大小为(　　)

A、25° B、50° C、65° D、70°

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13. 如图， $∠ A C D$ 为 $△ A B C$ 的外角，若 $∠ A B C = 2 ∠ B A C$ ， $∠ A C D = 117 °$ ，则 $∠ A B C =$

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14. 如图， $∠ M O N = 58 °$ ，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），AC是 $∠ M A B$ 的平分线，AC的反向延长线交 $∠ A B O$ 的平分线于点D，则 $∠ D =$ $°$ ．

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15. 如图，数学活动课上，小李同学分别延长 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的边，边 $A C$ 、 $D F$ 的延长线交于点 $H$ ，边 $B C$ 、 $E F$ 的延长线交于点 $G$ ，测得 $∠ G = 126 °$ ， $∠ H = 84 °$ ，则 $∠ A + ∠ B + ∠ D + ∠ E$ 的值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 为 $A B$ 边上的高， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，分别交 $C D$ ， $A C$ 于点F，E．

(1)、若 $∠ C E F = 62 °$ ，求 $∠ A$ 的度数；

(2)、证明： $∠ C F E = ∠ C E F$ ．

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17. （1）如图 $①$ ，已知线段 $A B$ ， $C D$ 相交于点O，连接 $A C$ ， $B D$ ，可以得到 $∠ A$ 、 $∠ C 、 ∠ B 、 ∠ D$ 的关系式是．
（2）如图 $②$ ，若 $∠ C A B$ 和 $∠ B D C$ 的平分线 $A P$ 和 $D P$ 相交于点P，与 $C D$ ， $A B$ 分别交于点M，N．猜测 $∠ B ， ∠ C ， ∠ P$ 之间的关系，并证明你的结论．
（3）若 $∠ C A B$ 和 $∠ B D C$ 的三等分线 $A P$ 和 $D P$ 相交于点P，与 $C D$ ， $A B$ 分别交于点M，N，其中 $∠ C A P = 2 ∠ P A O ， ∠ O D P = 2 ∠ P D B$ ，则 $∠ B ， ∠ C ， ∠ P$ 之间又有怎样的数量关系，并说明理由．

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三、创新拓展

18. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”，例如：三个内角分别为 $120 °$ ， $40 °$ ， $20 °$ 的三角形是“灵动三角形”．如图， $∠ M O N = 60 °$ ，在射线 $O M$ 上找一点 $A$ ，过点 $A$ 作 $A B ⊥ O M$ 交 $O N$ 于点 $B$ ，以 $A$ 为端点作射线 $A D$ ，交线段 $O B$ 于点 $C$ （规定 $0 ° < ∠ O A C < 90 °$ ）．当 $△ A B C$ 为“灵动三角形”时，则 $∠ O A C$ 的度数为．

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19. 一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 $180 °$
【定理证明】
（1）小红的证明思路是：如图1，在 $△ A B C$ 中，过点A作 $D E ∥ B C$ ，再利用平行线的相关知识来证明： $∠ B A C + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．请按照小红同学的思路继续完成证明过程；
【定理应用】
（2）如图2，若 $∠ 1 = 20 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ， $∠ B D C = 95 °$ ，求 $∠ A$ 的度数．

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