浙江省嘉兴市2018届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-03-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | x < 1}$ ， $Q = {x | x ＞ 0}$ ，则（）

A、 $P \subseteq Q$ B、 $Q \subseteq P$ C、 $P \subseteq$ $C_{R} Q$ D、 $C_{R} P \subseteq Q$

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2. 若复数 $z = 2 - i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $(1 + z) (1 - z) =$ （）

A、 $2 + 4 i$ B、 $- 2 + 4 i$ C、 $- 2 - 4 i$ D、 $- 4$

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3. 点 $(- 1, 0)$ 到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知 $x, y$ 是非零实数，则“ $x > y$ ”是“ $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \leq 1 \\ x + 2 y - 1 \geq 0 \\ x - k y \geq 0 \end{matrix}$ ，若 $z = 3 x + y$ 的最小值为1，则正实数 $k =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 某几何体的三视图如图所示(单位： $cm$ )，则该几何体的表面积(单位： ${cm}^{2}$ )是（）

A、 $36 + 24 \sqrt{2}$ B、 $36 + 12 \sqrt{5}$ C、 $40 + 24 \sqrt{2}$ D、 $40 + 12 \sqrt{5}$

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7. 函数 $y = x^{3} - x$ 的图象与直线 $y = a x + 2$ 相切，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、4

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8. 若 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 在 $(m - 1, m + 1)$ 内有两个不同的零点，则 $f (m - 1)$ 和 $f (m + 1)$ （）

A、都大于1 B、都小于1 C、至少有一个大于1 D、至少有一个小于1

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9. 设点 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 在第一象限的交点， $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线的两个焦点，且 $2 | P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、13 D、 $\frac{13}{2}$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E ， F$ 分别是棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 的中点，过 $E F$ 的平面与棱 $B B_{1} ， D D_{1}$ 分别交于点 $G ， H$ .设 $B G = x$ ， $x \in [0 ， 1]$ ．
①四边形 $E G F H$ 一定是菱形；② $A C / /$ 平面 $E G F H$ ；③四边形 $E G F H$ 的面积 $S = f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上具有单调性；④四棱锥 $A - E G F H$ 的体积为定值.
以上结论正确的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

11. 各项均为实数的等比数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = 9$ ，则 $a_{3} =$ ，公比 $q =$ ．

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12. 已知 ${(1 - x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $x^{2}$ 项的二项式系数是； $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{6} | =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = {log}_{4} (4 - | x |)$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是； $f (0) + 4^{f (2)} =$ ．

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14. 直角 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $D$ 为 $A B$ 边上的点，且 $\frac{A D}{D B} = 2$ ，则 $\overset{⇀}{C D} \cdot \overset{⇀}{C A} =$ ；若 $\overset{⇀}{C D} = x \overset{⇀}{C A} + y \overset{⇀}{C B}$ ，则 $x y =$ ．

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15. 在锐角 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $C = 2 B$ ，则 $\frac{c}{b}$ 的取值范围是．

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16. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出3个，则取出的编号互不相同的概率是．

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17. 已知实数 $x ， y$ 满足 $4^{x} + 9^{y} = 1$ ，则 $2^{x + 1} + 3^{y + 1}$ 的取值范围是．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的解析式；
（Ⅱ）设函数 $g (x) = f (x) + 4 {sin}^{2} x ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $g (x)$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (x^{2} + a x + 1)$ ， $a \in R$ （ $e$ 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 $x = e$ 是 $f (x)$ 的极值点，求实数 $a$ 的值；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $C D$ 上， $A B = 3$ ， $B C = C E = 2$ ，沿直线 $B E$ 将 $Δ B C E$ 翻折成 $Δ B C' E$ ，使点 $C'$ 在平面 $A B E D$ 上的射影 $F$ 落在直线 $B D$ 上.
（Ⅰ）求证：直线 $B E ⊥$ 平面 $C F C'$ ；
（Ⅱ）求二面角 $C' - B E - D$ 的平面角的余弦值.

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21. 如图， $A B$ 为半圆 $x^{2} + y^{2} = 1 (y \geq 0)$ 的直径，点 $D ， P$ 是半圆弧上的两点， $O D ⊥ A B$ ， $∠ P O B = 30 °$ ．曲线 $C$ 经过点 $P$ ，且曲线 $C$ 上任意点 $M$ 满足： $| M A | + | M B |$ 为定值.
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设过点 $D$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $E ， F$ ，求 $Δ O E F$ 面积最大时的直线 $l$ 的方程．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = \frac{n}{n - 1} a_{n - 1} (n \geq 2)$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有
① $\frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{a_{3}^{2}} + \dots + \frac{\sqrt{n}}{a_{n}^{2}} < 3$ ；
② $\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n + 2}} + \dots + \frac{1}{a_{n k - 1}} > \frac{2 (k - 1)}{k + 1}$ （ $k \geq 2, k \in N^{*}$ ）．

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