浙江省嘉兴市2017-2018学年高二上学期数学期末检测试卷

试卷更新日期：2018-03-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列命题一定正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、依次首尾相接的四条线段必共面 C、直线与直线外一点确定一个平面 D、两条直线确定一个平面

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2. 若实数 $a, b$ 满足 $a < b < 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} < 1$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a^{2} > a b$

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3. 已知 $m, n$ 是两条不同直线， $α, β$ 是不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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4. 设 $x > 0$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $x + \frac{a}{x} \geq 2$ 恒成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，且 $\overset{⇀}{B F} = 2 \overset{⇀}{F E}$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$

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6. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $A B_{1}, B C_{1}$ 的中点，则必有（）

A、 $E F / / A B$ B、 $E F ⊥ B C$ C、 $E F / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ D、 $E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$

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7. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 4$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知-2与1是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，且 $a < 0$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2} c^{2}}{a b^{2}}$ 的最大值为（）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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9. 关于 $x$ 的不等式 $2 a x^{2} - 4 x < a x - 2$ 只有一个整数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} < a \leq 1$ B、 $1 < a < 2$ C、 $1 \leq a < 2$ D、 $- 1 < a < 1$

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10. 已知直角 $Δ A B C$ ， $∠ A B C = 90^{0}$ ， $A B = 12$ ， $B C = 8$ ， $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 的中点，将 $Δ A D E$ 沿着直线 $D E$ 翻折至 $Δ P D E$ ，形成四棱锥 $P - B C E D$ ，则在翻折过程中，① $∠ D P E = ∠ B P C$ ；② $P E ⊥ B C$ ；③ $P D ⊥ E C$ ；④平面 $P D E ⊥$ 平面 $P B C$ ，不可能成立的结论是（）

A、①②③ B、①② C、③④ D、①②④

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二、填空题

11. 已知命题“若 $x > 1$ ，则 $x^{2} > 1$ ” ，其逆命题为．

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12. 已知空间向量 $\overset{⇀}{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, 1, x)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $x =$ ．

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13. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为.

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14. 若对任意正实数 $x$ ，都有 $t^{2} - t \leq x + \frac{1}{x}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是．

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15. 在三棱锥 $O - A B C$ 中，底面为正三角形，各侧棱长相等，点 $P ， Q$ 分别是棱 $A B ， O B$ 的中点，且 $P Q ⊥ C Q$ ，则 $\frac{A B}{O A} =$ ．

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = 120^{0}$ ， $P A = x$ ，则当 $x$ 变化时，直线 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的取值范围是．

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17. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 是面 $B C D_{1} A_{1}$ 上异于 $D_{1}$ 的一动点，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $B P$ 所成最小角的正弦值为．

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18. 已知 $a > 0$ ， $b \in R$ ，当 $x > 0$ 时，关于 $x$ 的不等式 $(a x - 1) (x^{2} + b x - 4) \geq 0$ 恒成立，则 $b + \frac{2}{a}$ 的最小值是．

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三、解答题

19. 已知 $A = {x | | x - 3 | \leq 1}$ ， $B = {x | (x + a) (x - 3 a) 〈 0, a > 0}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 与直角三角形 $A B E$ 所在平面互相垂直，且 $A E ⊥ B E$ ， $M ， N$ 分别是 $B D ， A E$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、过 $A$ 作 $A P ⊥ D E$ ，垂足为 $P$ ，求证： $A P ⊥$ 平面 $B D E$ .

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21. 已知 $x > 1$ ， $y > 1$ ， $x + y = 4$ .

(1)、求证： $x y \leq 4$ ；

(2)、求 $\frac{x}{x - 1} + \frac{2 y}{y - 1}$ 的最小值.

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22. 已知三棱锥 $P - A B C$ ，底面 $A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形， $P A ⊥ A C$ ， $B A = B C = P A = 2$ ，二面角 $P - A C - B$ 的大小为 $120^{0}$ .

(1)、求直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小；

(2)、求二面角 $P - B C - A$ 的正切值.

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