浙江嘉兴市2016-2017学年高三上学期数学基础测试试卷

试卷更新日期：2018-03-21 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ， $B = {x | | x | < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < - 1}$ B、 ${x | 2 < x < 3}$ C、 ${x | - 3 < x < - 1 或 2 < x < 3}$ D、 ${x | - 3 < x < - 2 或 1 < x < 3}$

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2. 已知复数 $\frac{a + 2 i}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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3. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $| a + b | \leq 3$ ”是“ $| a | + | b | \leq 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 对于空间的三条直线 $m, n, l$ 和三个平面 $α, β, γ$ ，则下列命题中为假命题的是（）

A、若 $m ⊥ α, n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ, α \cap β = l$ ，则 $l ⊥ γ$ D、若 $m / / β, n / / β$ ，则 $m / / n$

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5. 若函数 $g (x)$ 的图象可由函数 $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度变换得到，则 $g (x)$ 的解析式是（）

A、 $g (x) = 2 \sin 2 x$ B、 $g (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{2})$ D、 $g (x) = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$

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6. 设点 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，点 $C$ 在直线 $A B$ 外， $| \vec{A B} | = 6$ ， $| \vec{C A} + \vec{C B} | = | \vec{C A} - \vec{C B} |$ ，则 $| \vec{C M} | =$ （）

A、12 B、6 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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7. 若函数 $f (x) = 2 x + \frac{a}{x} (a \in R)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $(- \infty ， 4]$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 20 x$ 有一个公共的焦点 $F$ ，且两曲线的一个交点为 $P$ ，若 $| P F | = 17$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 16$ ， $a_{6} = 10$ ，则公差 $d =$ ； $S_{n}$ 为最大值时的 $n =$ ．

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10. 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为；体积为．

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11. 在 ${(2 - x)}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的二项式系数为；系数为．（均用数字作答）

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12. 已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数 $ζ$ ，则 $ζ = 1$ 的概率是；随机变量 $ζ$ 的均值是．

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13. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{cases} x - y + 4 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 3 \end{cases}$ ，则 $z = | 2 x - y |$ 的最大值为．

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14. 由直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 上的一动点 $P$ 向圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 引切线，则切线长的最小值为．

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15. 已知两单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，若实数 $x, y$ 满足 $| x \vec{e_{1}} + 2 y \vec{e_{2}} | = \sqrt{3}$ ，则 $x + 2 y$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} b^{2}$ ，求 $\frac{a}{c}$ 的值．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} = t a_{n} - \frac{1}{2}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、求实数 $t$ 的值和数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \log_{3} a_{2 n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ A B C$ 是等边三角形， $D$ 是 $A C$ 的中点， $P A = P C$ ，二面角 $P - A C - B$ 的大小为 $60^{\circ}$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $A B$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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19. 已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2} + b x (a ， b \in R)$ 在 $x_{1} = 2 ， x_{2} = 3$ 处取得极值．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线方程．

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20. 已知椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，经过点 $F_{2}$ 且倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点．

(1)、若 $Δ A B F_{1}$ 的周长为16，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $| A B | = \frac{24}{7}$ ，求椭圆 $C$ 的方程．

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