广西壮族自治区贵港市桂平市2025-2026学年高二上学期11月期中调研检测数学试题

试卷更新日期：2025-11-25 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = \{x| - 2 \leq x < 3\}$ ， $B = \{x| - 3 < x \leq 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x| - 3 < x < 3\}$ B、 $\{x| - 2 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{x| - 3 \leq x \leq 3\}$ D、 $\{x| - 3 \leq x < 2\}$

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2. 已知 $p : \exists x_{0} \in Z$ ， $e^{x_{0}} - 1 \leq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in Z$ ， $e^{x} - 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in Z$ ， $e^{x} - 1 > 0$ C、 $\exists x \in Z$ ， $e^{x} - 1 > 0$ D、 $\exists x \notin Z$ ， $e^{x} - 1 \leq 0$

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3. 在复平面内，复数 $(1 - i) (2 - 3 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{11} = 1$ 的左、右焦点，P是C上一点，且 $|P F_{1} |= 6| P F_{2}| ，$ 则 $|P F_{2}| =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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5. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、3

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6. 若抛物线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ 与抛物线 $C_{2}$ 关于直线 $y = x + 1$ 对称，则 $C_{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 1, 2)$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，则不等式 $f (ln x) > f (1)$ 的解集为（）

A、 $\{x | 1 < x < e\}$ B、 ${x | \frac{1}{e} < x < e}$ C、 ${x | x < 1$ 或 $x > e^{2}}$ D、 ${x | x < \frac{1}{e} 或 x > e}$

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8. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{2 a + 1} + \frac{4}{1 + 2 b} = 1$ ，若 $a + b > 2 x^{2} - 6 x$ 恒成立，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{1}{2} < x < \frac{7}{2}$ B、 $- \frac{7}{2} < x < \frac{1}{2}$ C、 $- 7 < x < 1$ D、 $- 1 < x < 7$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知直线 $l_{1} : a x + y - 3 = 0, l_{2} : x - 2 y + 3 = 0, l_{3} : x + y - 6 = 0$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $l_{2}$ 在 $x$ 轴上的截距为3 B、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = - \frac{1}{2}$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 2$ D、若 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 相交于一点，则 $a = - 1$

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10. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + m + 20 = 0$ 外离，则m的取值可能是（）

A、-3 B、1 C、4 D、6

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 为奇函数，其图象与直线 $y = 2$ 的其中两个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, |x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $π$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、曲线 $y = g (x)$ 的一条对称轴为直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ B、曲线 $y = g (x)$ 的一个对称中心为点 $(\frac{π}{6}, 0)$ C、函数 $g (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x} - 1, x \leq 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (8)) =$

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13. 已知椭圆C的两焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P，Q为椭圆C上的动点， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为10，则 $|Q F_{1}|$ 的最大值为．

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14. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{2}, A C = 2 \sqrt{2}, A B = 3, ∠ B A A_{1} = ∠ B A C = \frac{π}{4}, ∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}, △ A B C$ 的外心为 $O$ ，则 $A_{1} O$ 的长为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = - \frac{1}{3} x$ 上，且圆 $M$ 过 $(2, 1)$ 和 $(1, 0)$ 两点.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、求圆 $M$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 5$ 的公共弦长.

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16. 设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 已知 $b = 5, c = 6, 2 b \sin B + 2 c \sin C - 2 a \sin A = 3 b \sin C$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $\cos (B - C)$ ．

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17. 某环保组织进行了关于生态文明建设的知识竞赛，随机调查了100名参与者，统计了这100人答对的题数，将统计数据分为 $[0, 20), [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100), [100, 120]$ 六个小组，得到的频率分布直方图如图所示，已知答对题数在 $[20, 40)$ 内的人数是答对题数在 $[0, 20)$ 内的人数的5倍．

(1)、求频率分布直方图中a，b的值，并估计这100人答对题数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、设成绩在前 $25 %$ 的答题者被认定为“环保知识小达人”，按是否为“环保知识小达人”用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人中至少有1人为“环保知识小达人”的概率．

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18. 如图1所示，在梯形 $A B C D$ 中， $B E ⊥ A D ， B C = 6 ， A D = 12 ， A E = B E = 4$ 把 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起，得到四棱锥 $A - B C D E$ ，如图2所示．

(1)、若 $A D = 4 \sqrt{3}$ ，证明： $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ．

(2)、若平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $A, B, C, D$ 在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面 $B C D E$ 内．

(3)、若平面 $A D E$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值．

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19. 以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，短轴长为2.

(1)、求 $C$ 及 $C$ 的辅助圆的方程.

(2)、已知与 $y$ 轴平行，且不经过原点 $O$ 的直线 $D E$ 与 $C$ 及 $C$ 的辅助圆分别交于 $D, E$ 两点（ $D, E$ 均在同一个象限），过 $E$ 作 $C$ 的辅助圆的切线与 $x$ 轴交于点 $F$ ，且直线 $O D$ 的斜率为 $k$ ，记 $△ O E F$ 的面积为 $S$ ，证明： $S = 4 |k|$ .

(3)、已知斜率不为0，且不经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，判断在 $C$ 的辅助圆上是否存在点 $P$ ，使得四边形 $O A P B$ 是平行四边形.若存在，求 $△ O A B$ 面积的最大值；若不存在，说明理由.

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