河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（1）

试卷更新日期：2018-03-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 - x 〉 0}$ ， $B = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} < 1}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | 0 < x \leq 2}$ B、 $A \cap B = {x | x < 0}$ C、 $A \cup B = {x | x < 2}$ D、 $A \cup B = R$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位， $a$ 为实数，复数 $z$ 满足 $z + 3 i = a + a i$ ，若复数 $z$ 是纯虚数，则（）

A、 $a = 3$ B、 $a = 0$ C、 $a \neq 0$ D、 $a < 0$

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3. 我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾 $(a)$ 和股 $(b)$ 分别表示直角三角形的两条直角边，用弦 $(c)$ 来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）

A、 $\frac{25}{49}$ B、 $\frac{24}{49}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{5}{7}$

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4. 已知等差数列 $(a_{n})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{9} = 6 π$ ，则 $tan a_{5} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\forall a \in R, f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内单调递增 B、 $\exists a \in R, f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内单调递减 C、 $\exists a \in R, f (x)$ 是偶函数 D、 $\exists a \in R, f (x)$ 是奇函数，且 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内单调递增

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6. $(1 + x) {(2 - x)}^{4}$ 的展开式中 $x$ 项的系数为（）

A、-16 B、16 C、48 D、-48

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7. 如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（）

A、 $π + 4 \sqrt{2} + 4$ B、 $2 π + 4 \sqrt{2} + 4$ C、 $2 π + 4 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 π + 2 \sqrt{2} + 4$

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8. 若 $a > 1, 0 < c < b < 1$ ，则下列不等式不正确的是（）

A、 ${log}_{2018} a > {log}_{2018} b$ B、 ${log}_{b} a < {log}_{c} a$ C、 $(a - c) a^{c} > (a - c) a^{b}$ D、 $(c - b) a^{c} > (c - b) a^{b}$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $n$ 值为11，则判断框中的条件可以是（）

A、 $S < 1022 ?$ B、 $S < 2018 ?$ C、 $S < 4095 ?$ D、 $S > 4095 ?$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ϖ x + ϕ) (ϕ > 0 ， | ϕ \leq \frac{π}{2} |)$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得图象与函数 $y = g (x)$ 的图象重合，则（）

A、 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = 2 sin 2 x$ D、 $g (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$

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11. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作斜率为1的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，则 $\frac{1}{| P F |} + \frac{1}{| Q F |}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $1$ D、 $2$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, n (a_{n + 1} - a_{n}) = a_{n} + 1, n \in N^{*}$ ，若对于任意的 $a \in [- 2, 2], n \in N^{*}$ ，不等式 $\frac{a {}_{n + 1}}{n + 1} < 2 t^{2} + a t - 1$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 2] \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$ D、 $[- 2, 2]$

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二、填空题

13. 已知向量 $a = (1, λ), b = (3, 1)$ ，若向量 $2 a - b$ 与 $c = (1, 2)$ 共线，则向量 $a$ 在向量 $c$ 放向上的投影为．

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14. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y = 4 ， \\ x \leq 2 y ， \\ x \geq 1 ， \end{matrix}$ 则 $z = x - 3 y + 1$ 的最大值是．

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15. 过双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的下焦点 $F_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线，交双曲线于 $A, B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆恰好过其上焦点 $F_{2}$ ,则双曲线的离心率为．

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16. 一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．

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三、解答题

17. 如图，在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $2 a cos A = b cos C + c cos B$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的平分线， $A B = 2 ， B C = 4$ ，求 $A D$ 的长.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $C C_{1} = 2 A C = 2 B C ， A C ⊥ B C$ ， $D$ 是棱 $A B$ 的中点，点 $M$ 在侧棱 $C C_{1}$ 上运动.

(1)、当 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点时，求证： $C D / /$ 平面 $M A B_{1}$ ；

(2)、当直线 $A M$ 与平面 $A B C$ 所成的角的正切值为 $\frac{3}{2}$ 时，求二面角 $A - M B_{1} - C_{1}$ 的余弦值.

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19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)，如茎叶图所示.

(1)、写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；

(2)、从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.
①记 $X$ 表示选取4人的成绩的平均数，求 $P (X \geq 87)$ ；
②记 $ξ$ 表示测试成绩在80分以上的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,离心率为 $\frac{1}{3}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l : y = k x + 2 (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，若在 $x$ 轴上存在点 $G$ ，使得 $| G M | = | G N |$ ，求点 $G$ 的横坐标的取值范围.

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21. 设函数 $f (x) = e^{x} - 2 a - ln (x + a), a \in R, e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $a > 0$ ,且函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 内单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $0 < a < \frac{2}{3}$ ，试判断函数 $f (x)$ 的零点个数.

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22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ ，以 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = 3$ .

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程和椭圆 $C$ 的参数方程；

(2)、设 $M (x ， y)$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，求 $| 2 \sqrt{3} x + y - 1 |$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) + f (2 + x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若 $g (x) = f (x) - f (2 + x)$ 的最大值为 $m$ ，对任意不想等的正实数 $a, b$ ，证明： $a f (b) + b f (a) \geq m | a - b |$ .

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