河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（3）

试卷更新日期：2018-03-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 3 + i$ （ $i$ 为虚数单位），其共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z}$ 为（）

A、 $\frac{7}{5} - \frac{1}{5} i$ B、 $- \frac{7}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{7}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{7}{5} + \frac{1}{5} i$

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2. 已知 $cos (π - α) = \frac{1}{3}$ ， $sin (\frac{π}{2} + β) = \frac{2}{3}$ （其中， $α$ ， $β \in (0, π)$ ），则 $sin (α + β)$ 的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2} - \sqrt{5}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{- 4 \sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{- 4 \sqrt{2} - \sqrt{5}}{9}$

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3. 已知集合 $A = {x \in R | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $B = {x \in R | x \leq a}$ ，若 $A \cup B = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $(- \infty, 4]$

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4. 某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为 $\frac{4}{5}$ ，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（）

A、 $\frac{512}{625}$ B、 $\frac{256}{625}$ C、 $\frac{64}{625}$ D、 $\frac{64}{125}$

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5. 已知 $1^{2} + 2^{2} = \frac{2 \times 3 \times 5}{6}$ ， $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = \frac{3 \times 4 \times 7}{6}$ ， $1^{2} + 2^{2} + 3^{3} + 4^{2} = \frac{4 \times 5 \times 9}{6}$ ， $\dots$ ，若 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \dots + n^{2} = 385 (n \in N^{*})$ ，则 $n$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $M$ ，上顶点为 $N$ ，右焦点为 $F$ ，若 $\overset{⇀}{N M} \cdot \overset{⇀}{N F} = 0$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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7. 将函数 $f (x) = sin 2 x$ 图像上的所有点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 在区间 $[0 ， a]$ 上单调递增，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 如图是计算 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)}$ 的程序框图，若输出的 $S$ 的值为 $\frac{99}{100}$ ，则判断框中应填入的条件是（）

A、 $n > 98 ?$ B、 $n > 99 ?$ C、 $n > 100 ?$ D、 $n > 101 ?$

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9. 朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（）

A、350升 B、339升 C、2024升 D、2124升

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10. 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（）

A、 $\frac{6}{3 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ B、 $\frac{6}{6+2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ C、 $\frac{6}{2+3 \sqrt{3} +2 \sqrt{6}}$ D、 $\frac{6}{4+3 \sqrt{3} +2 \sqrt{6}}$

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11. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $P$ 为边 $A B$ 的中点，现将 $Δ D A P$ 绕直线 $D P$ 翻转至 $Δ D A' P$ 处，若 $M$ 为线段 $A' C$ 的中点，则异面直线 $B M$ 与 $P A'$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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12. 若函数 $y = f (x)$ 图像上存在两个点 $A$ ， $B$ 关于原点对称，则对称点 $(A ， B)$ 为函数 $y = f (x)$ 的“孪生点对”，且点对 $(A ， B)$ 与 $(B ， A)$ 可看作同一个“孪生点对”.若函数 $f (x) =$ ${\begin{matrix} 2 ， x < 0 \\ - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2 - a ， x \geq 0 \end{matrix}$ 恰好有两个“孪生点对”，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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二、填空题

13. $(2 x + 1) {(x - 2)}^{3}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为．

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14. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为边 $B C$ 的中点，点 $F$ 为边 $C D$ 上的靠近点 $C$ 的四等分点，点 $G$ 为边 $A E$ 上的靠近点 $A$ 的三等分点，则向量 $\overset{⇀}{F G}$ 用 $\overset{⇀}{A B}$ 与 $\overset{⇀}{A D}$ 表示为．

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15. 已知在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $| A B | = 2 | C D | = 4$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，双曲线以 $A$ ， $B$ 为焦点，且与线段 $A D$ ， $B C$ （包含端点 $D$ ， $C$ ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1}^{2} + 2 a_{n - 1}^{} (n \geq 2)$ ，若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(sin A - cos A) cos C$ $+ (cos A + sin A) sin C = \sqrt{2}$ ， $D$ 为边 $A B$ 上一点， $B C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $Δ B C D$ 的面积；

(2)、若 $D A = D C$ ，求角 $A$ 的大小.

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18. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ C B$ ， $A B = 4$ ， $P A = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ P A B = 45^{\circ}$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P C B$ ；

(2)、若二面角 $A - P B - C$ 的平面角的大小为 $60 {}^{\circ}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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19. 某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量 $y$ （单位： $kg$ ）和与它“相近”葡萄的株数 $x$ 具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 $1 m$ ），并分别记录了相近葡萄的株数为1，2，3，4，5，6，7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：
$x$
1
2
3
5
6
7
$y$
15
13
12
10
9
7

(1)、求该葡萄每株的收获量 $y$ 关于它“相近”葡萄的株数 $x$ 的线性回归方程及 $y$ 的方差 $s^{2}$ ；

(2)、某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/ $kg$ 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）

(3)、该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为 $1 m^{2}$ ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l ： y = k x + a (a > 0)$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，且与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 交于 $D$ ， $E$ （其中 $A$ ， $D$ 在 $y$ 轴同侧）两点，求证： $| A D | \cdot | B E |$ 是定值；

(2)、设抛物线 $C$ 在点 $A$ 和点 $B$ 处的切线交于点 $P$ ，试问在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得四边形 $A P B Q$ 为菱形？若存在，求出此时直线 $l$ 的斜率和点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a {(x - 1)}^{2} + ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $y = f (x)$ 在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = - 1$ 时，令函数 $g (x) = f (x) + ln x - 2 x + 1 + m$ ，若函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (2 +cos α, sin α)$ （ $α$ 为参数）.以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = 5 - | x + 1 | - | x - 2 |$ .

(1)、在给出的平面直角坐标系中作出函数 $y = f (x)$ 的图像；

(2)、记函数 $y = f (x)$ 的最大值为 $M$ ，是否存在正数 $a$ ， $b$ ，使 $2 a + b = M$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 3$ ，若存在，求出 $a$ ， $b$ 的值，若不存在，说明理由.

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$x$	1	2	3	5	6	7
$y$	15	13	12	10	9	7