河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（2）

试卷更新日期：2018-03-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} - 2 x}}$ ， $B = {y | y = x^{2} + 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + \infty)$

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2. 已知 $a \in R$ ，且 $a > 0, i$ 是虚数单位， $| \frac{a + i}{2 + i} | = 2$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 已知 $θ$ 为直线 $y = 3 x - 5$ 的倾斜角，若 $A (cos θ ， sin θ) ， B (2 cos θ + sin θ ， 5 cos θ - sin θ)$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、3 B、-4 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线与抛物线 $y = x^{2} + 1$ 相切，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入 $m ， n$ 分别代表钱数和果子个数，则符合输出值 $p$ 的为（）

A、 $p$ 为甜果数343 B、 $p$ 为苦果数343 C、 $p$ 为甜果数657 D、 $p$ 为苦果数657

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7. $sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{3} = 0$ 在区间 $(0 ， π)$ 内的所有零点之和为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{7 π}{6}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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8. 已知 $p : \forall x > 0, \frac{x^{2} + a x}{2 x^{2} + 1} < 1$ 恒成立，若 $\neg p$ 为真命题，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $2 π + \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $π + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $π + \sqrt{3}$ D、 $π + \frac{\sqrt{3}}{6}$

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10. 如图为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，动点 $M$ 从 $B_{1}$ 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到 $B_{1}$ ，运动过程种，点 $M$ 与平面 $A_{1} D C_{1}$ 的距离保持不变，运动的路程 $x$ 与 $l = M A_{1} + M C_{1} + M D$ 之间满足函数关系 $l = f (x)$ ，则此函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的准线交 $x$ 轴于点 $M$ ，过点 $M$ 的直线交抛物线于 $N 、 Q$ 两点， $F$ 为抛物线的焦点，若 $∠ N F Q = 90 °$ ，则直线 $N Q$ 的斜率 $k (k > 0)$ 为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x - x^{2} (x < 0) ， \\ e^{2} x (x \geq 0) ， \end{matrix}$ $g (x) = e^{x + 1} + a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，若 $y = f (x) - g (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - e)$ B、 $(- \infty ， - \frac{e^{2}}{3})$ C、 $(- \infty ， - e) \cup (- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - \frac{e^{2}}{3}) \cup (- 1 ， 0)$

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二、填空题

13. 若向量 $\overset{⇀}{O A} = (1, 3), \overset{⇀}{O B} = (\frac{1}{2}, - 3)$ , $M$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M B}$ 的最小值为．

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14. 已知 $(x ， y)$ 满足 $x^{2} \leq y \leq x + 2$ ，则 $\frac{y - 5}{x - 3}$ 的取值范围是．

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15. $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, 2 c = a + \sqrt{2} b$ ，当 $∠ C$ 最大时， $\frac{S_{Δ A B C}}{a^{2} + b^{2}} =$ ．

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16. 3位逻辑学家分配10枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：
(1)抽签确定各人序号：1，2，3；
(2)1号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则1好只得到2枚金币，然后退出分配与表决；
(3)再由2号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到2枚金币，然后退出分配与表决；
（4）最后剩的金币都给3号.每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1号为得到最多的金币，
提出的分配方案中1号、2号、3号所得金币的数量分别为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $4 S_{n} = (a_{n} + 3) (a_{n} - 1)$ ，且 $a_{n} > 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $T_{n} = a_{1} \cdot 2^{a_{1}} + a_{2} \cdot 2^{a_{2}} + \dots + a_{n} \cdot 2^{a_{n}}$ 的值.

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18. 某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数 $ξ ~ N (127, {7.1}^{2})$ ,且所有得分都是整数.
参考数据： $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) = 0.6826,$ $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ .

(1)、求全班平均成绩；

(2)、计算得分超过141的人数；（精确到整数）

(3)、甲同学每次考试进入年级前100名的概率是 $\frac{1}{4}$ ，若本学期有4次考试， $X$ 表示进入前100名的次数，写出 $X$ 的分布列，并求期望与方差.

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19. 已知在直角梯形 $A B C' D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $A D = A B = 1 ， B C' = 2$ ，将 $Δ C' B D$ 沿 $B D$ 折起至 $Δ C B D$ ，使二面角 $C - B D - A$ 为直角.

(1)、求证：平面 $A D C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{A M} = λ \overset{⇀}{A C}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ，当二面角 $M - B D - C$ 为45°时，求 $λ$ 的值.

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0) ， C (2 ， 2) ， D (- 2 ， 2)$ 且 $\overset{⇀}{A M} = λ \overset{⇀}{A D} ， \overset{⇀}{D N} = λ \overset{⇀}{D C}$ ， $λ \in [0 ， 1] ， A N$ 交 $B M$ 于点 $Q$ .

(1)、若点 $Q$ 的轨迹是曲线 $P$ 的一部分，曲线 $P$ 关于 $x$ 轴、 $y$ 轴、原点都对称，求曲线 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $(\sqrt{3} ， 0)$ 作曲线 $P$ 的两条互相垂直的弦 $E F 、 G H$ ，四边形 $G H E F$ 的面积为 $S$ ，探究 $\frac{S}{| E F | + | G H |}$ 是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x + a}{x - 1} e^{x - 1}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $f (x)$ 有极值点，求证：必有一个极值点在区间 $（ 1 ， 3 ）$ 内；

(2)、求证：对任意 $x > 1 ， a > - 1$ ，有 $f (x) > \sqrt{x} (1 + \frac{1}{2} ln x)$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2sin θ$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、在平面直角坐标系中，将曲线 $C$ 的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线 $D$ ，过点 $M (2 ， 0)$ 作直线 $l$ ，交曲线 $D$ 于 $A 、 B$ 两点，若 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M B} = 2$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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23. 已知 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，且 $a . b . c \in R^{+}$ .

(1)、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$ 的最小值；

(2)、证明： $\sqrt{1 + a^{2}} + \sqrt{1 + b^{2}} + \sqrt{1 + c^{2}} \leq 2 \sqrt{3}$ .

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