2017-2018学年高中理数高考复习专题04：导数及其应用

试卷更新日期：2018-03-19 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 直线 $y = a$ 分别与直线 $y = 2 x + 2$ ，曲线 $y = x + ln x$ 交于点 $A 、 B$ ，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 若幂函数f(x)的图象过点 $（ \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2} ）$ ，则函数g(x)＝e^xf(x)的单调递减区间为（）

A、(－∞，0) B、(－∞，－2) C、(－2，－1) D、(－2，0)

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3. 若函数f(x)＝x³－2cx²＋x有极值点，则实数c的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{2}]$ ∪ $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ∪ $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$

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4. 设函数f(x)＝ $\frac{x^{2}}{4}$ －aln x，若f′(2)＝3，则实数a的值为（）

A、4 B、－4 C、2 D、－2

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5. 已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜ $\frac{1}{2}$ ，则f(x)＜ $\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、{x|－1＜x＜1} B、{x|x＜－1} C、{x|x＜－1，或x＞1} D、{x|x＞1}

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6. 函数f(x)＝3x－x³在区间(a²－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、(－1，3) B、(－1，2) C、(－1，3] D、(－1，2]

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7. 已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则（）

A、f(2)＜e²f(0) B、f(2)≤e²f(0) C、f(2)＝e²f(0) D、f(2)＞e²f(0)

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8. 已知f(x)＝aln x＋ $\frac{1}{2}$ x²(a＞0)，若对任意两个不等的正实数x₁ ， x₂都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} \geq 2$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、[1，＋∞) B、(1，＋∞) C、(0，1) D、(0，1]

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9. 曲线y＝e^x在点A处的切线与直线x－y＋3＝0平行，则点A的坐标为（）

A、(－1，e^－1) B、(0，1) C、(1，e) D、(0，2)

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10. 若函数f(x)＝2x²－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

A、[1，＋∞) B、[1，2) C、 $[1 ， \frac{3}{2})$ D、 $[\frac{3}{2} .2)$

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11. 如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间 $(- 3 ， - \frac{1}{2})$ 内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间 $(- \frac{1}{2} ， 3)$ 内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝ $- \frac{1}{2}$ 时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是（）

A、①② B、②③ C、③④⑤ D、③

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12. 已知 $x = 2$ 是函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + 2$ 的极小值点，那么函数 $f (x)$ 的极大值为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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二、填空题

13. 已知函数f(x)＝x²＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为．

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14. 若方程kx－ln x＝0有两个实数根，则k的取值范围是．

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15. 设定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x₀∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x₀)(b－a)成立，则称x₀为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)＝x³－3x在区间[－2,2]上的“中值点”为．

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16. 若函数f(x)＝－ $\frac{1}{3}$ x³＋ $\frac{1}{2}$ x²＋2ax在 $(\frac{2}{3} ， + \infty ）$ 上存在单调递增区间，则a的取值范围是．

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三、解答题

17. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为 $\frac{k}{e^{x}}$ (e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．

(1)、求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；

(2)、当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．

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18. 设函数f(x)＝ $\frac{1}{2}$ x²－mln x，g(x)＝x²－(m＋1)x.

(1)、求函数f(x)的单调区间；

(2)、当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．

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19. 已知函数f(x)＝aln x－bx² ， a，b∈R.

(1)、若f(x)在x＝1处与直线y＝－ $\frac{1}{2}$ 相切，求a，b的值；

(2)、在(1)的条件下，求f(x)在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值；

(3)、若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e²]都成立，求a的取值范围．

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