2017-2018学年高中理数高考复习专题03：函数的应用

试卷更新日期：2018-03-19 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知a是函数 $f (x) = 2^{x} - \log_{\frac{1}{2}} x$ 的零点，若0＜x₀＜a，则f（x₀）的值满足（）

A、f（x₀）=0 B、f（x₀）＞0 C、f（x₀）＜0 D、f（x₀）的符号不确定

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2. 已知函数f(x)＝2^x＋x，g(x)＝log₃x＋x，h(x)＝x－ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的零点依次为a，b，c，则（）

A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、b<a<c

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3. 设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内（）

A、(0，1) B、(3，4) C、(2，3) D、(1，2)

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4. 若直角坐标平面内的两个不同点 $P$ 、 $Q$ 满足条件：① $P$ 、 $Q$ 都在函数 $y = f (x)$ 的图像上；② $P$ 、 $Q$ 关于原点对称，则称点对 $[P ， Q]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一对“友好点对”（注：点对 $[P ， Q]$ 与 $[Q ， P]$ 看作同一对“友好点对”）．已知函数 $f (x)$ $\{\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > 0 \\ - x^{2} - 4 x ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，则此函数的“友好点对”有（）对．

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 若函数f(x)＝(m－2)x²＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$

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6. 设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且 $f (x) = {\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} ， 1 \leq x \leq 2 \\ - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} ， 0 \leq x < 1 ， 3 < x \leq 4 \end{matrix}$ ，则函数g(x)＝lg x的图象与函数f(x)的图象的交点个数为（）

A、3 B、5 C、9 D、10

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7. 已知f(x)＝ ${\begin{matrix} x + 3, x \leq 1 \\ - x^{2} + 2 x + 3, x > 1 \end{matrix}$ ，则函数g(x)＝f(x)－e^x的零点个数为．

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8. 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log₃|x|的零点个数是（）

A、多于4个 B、4个 C、3个 D、2个

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二、解答题

9. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．

(1)、当0<x≤20时，求函数v关于x的函数表达式；

(2)、当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．

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10. 已知函数f(x)＝－x²－2x，g(x)＝ ${\begin{matrix} x + \frac{1}{4 x}, x > 0 \\ x + 1, x \leq 0 \end{matrix}$

(1)、求g[f(1)]的值；

(2)、若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

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11. 在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.

(1)、当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；

(2)、企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

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12. 关于x的二次方程x²＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

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13. 若关于x的方程2^2x＋2^xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

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14. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog_{3 $\frac{Q}{10}$} (其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)、求出a，b的值；

(2)、若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

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15. 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：
① $f (x) = p \cdot q^{x}$ ；② $f (x) = p x^{2} + q x + 1$ ；③ $f (x) = x {(x - q)}^{2} + p$ ．（以上三式中、 $p ， q$ 均为常数，且 $q > 1$ ）

(1)、为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)

(2)、若 $f (0) = 4$ ， $f (2) = 6$ ，求出所选函数 $f (x)$ 的解析式（注：函数定义域是 $[0 ， 5]$ ．其中 $x = 0$ 表示8月1日， $x = 1$ 表示9月1日，…，以此类推）；

(3)、在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

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三、填空题

16. 函数f(x)对一切实数x都满足 $f (\frac{1}{2} + x) = f (\frac{1}{2} - x)$ ，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为．

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17. 已知函数f(x)＝ ${\begin{matrix} x^{2} - 1 ， x < 1 \\ {log}_{\frac{1}{2}} x ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．

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18. 已知符号函数sgn(x)＝ ${\begin{matrix} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{matrix}$ ，则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln²x的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19. 函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝.

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