2017-2018学年中考数学专题题型复习08：图形变换有关的计算与证明

试卷更新日期：2018-03-19 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{6}$

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2.
在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）

A、（ $\frac{3}{2}$ ，0） B、（2，0） C、（ $\frac{5}{2}$ ，0） D、（3，0）

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二、填空题

3. 如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为．

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4.
一副含 $30 °$ 和 $45 °$ 角的三角板 $A B C$ 和 $D E F$ 叠合在一起，边 $B C$ 与 $E F$ 重合， $B C = E F = 12 c m$ （如图1），点 $G$ 为边 $B C$ $(E F)$ 的中点，边 $F D$ 与 $A B$ 相交于点 $H$ ，此时线段 $B H$ 的长是．现将三角板 $D E F$ 绕点 $G$ 按顺时针方向旋转（如图2），在 $∠ C G F$ 从 $0 °$ 到 $60 °$ 的变化过程中，点 $H$ 相应移动的路径长共为．（结果保留根号）

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5. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是．

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6. 如图，在正方形ABCD中，AD=2 $\sqrt{3}$ ，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．

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7.
两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=cm．

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8. 如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是．

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9. 已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 .

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10.
如图，在矩形ABCD中，AB= $4 \sqrt{6}$ ， AD=10．连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当射线BE′和射线BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为 .

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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= $\sqrt{2}$ ，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是

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三、综合题

12.
如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣1，0），点B（0， $\sqrt{3}$ ）．

(1)、求∠BAO的度数；

(2)、如图1，将△AOB绕点O顺时针得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S₁ ， △BA′O的面积为S₂ ， S₁与S₂有何关系？为什么？

(3)、
若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S₁与S₂的关系发生变化了吗？证明你的判断．

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13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

(1)、
如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；

(2)、
如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：
①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；
②若CE=4，CF=2，求DN的长．

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14.
如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

(1)、当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

(2)、当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3 $\sqrt{2}$ 时，求线段DH的长．

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15.
如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．

(1)、如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= $\frac{1}{3}$ AC；

(2)、如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 $\sqrt{3}$ 时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

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四、解答题

16. 问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE，
易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 $\frac{1}{2} a^{2}$ ．
初步探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．
简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）

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17.
已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系，QE与QF的数量关系.
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

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