2017-2018学年中考数学专题题型复习04：二次函数的综合

试卷更新日期：2018-03-19 类型：二轮复习

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一、解答题

1.
如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x + c$ 与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C $(6 ， \frac{15}{2})$ 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

(1)、求c的值及直线AC的函数表达式；

(2)、点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m ，求AN的长（用含m的代数式表示）．

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2.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y= $\frac{5}{4}$ x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

(1)求m的值及抛物线的函数表达式；
(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M₁(x₁ ， y₁)，M₂(x₂ ， y₂)两点，试问 $\frac{M_{1} P \cdot M_{2} P}{M_{1} M_{2}}$ 是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．

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二、综合题

3.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x²﹣ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ x﹣ $\sqrt{3}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

(1)、求直线AE的解析式；

(2)、点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；

(3)、点G是线段CE的中点，将抛物线y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x²﹣ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ x﹣ $\sqrt{3}$ 沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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4.
如图，已知二次函数y=ax²+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．

(1)、求二次函数y=ax²+bx+4的表达式；

(2)、连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

(3)、连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

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5.
如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．

(1)、写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；

(2)、设S_△_BCD：S_△_ABD=k，求k的值；

(3)、当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

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6.
如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

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7. 已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax²+bx上

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；

(3)、如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$
个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．

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8.
如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

(3)、
如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

(4)、若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

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9.
如图，抛物线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+ $\frac{3}{2}$ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

(1)、试求A，B，C的坐标；

(2)、将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

(3)、在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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10.
如图，直线y=﹣ $\frac{2}{3}$ x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣ $\frac{4}{3}$ x²+bx+c经过点A，B．

(1)、求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)、M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

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11.
如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；

(3)、点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S₁、S₂ ，求S₁﹣S₂的最大值．

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12.
已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣ $\sqrt{3}$ x+b与抛物线的另一个交点为D．

(1)、若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

(2)、若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

(3)、在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

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13.
抛物线y=ax²+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．

(1)、如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；

(2)、如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时， $\frac{O E + O F}{O C}$ 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

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14.
如图，抛物线y=ax²+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

(3)、点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

(4)、若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

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15.
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx²+nx相交于A（1，3 $\sqrt{3}$ ），B（4，0）两点．

(1)、求出抛物线的解析式；

(2)、在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S_△_BCN、S_△_PMN满足S_△_BCN=2S_△_PMN ，求出 $\frac{M N}{N C}$ 的值，并求出此时点M的坐标．

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16.
如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF= $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求点Q的坐标；

(3)、在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

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17.
如图，直线y=﹣ $\sqrt{3}$ x+2 $\sqrt{3}$ 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和 $\sqrt{3}$ 个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

(1)、求点A，点B的坐标；

(2)、用含t的代数式分别表示EF和AF的长；

(3)、当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．

(4)、是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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18.
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．

(1)、求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）²+k的形式；

(2)、若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；

(3)、一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？

(4)、在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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19.
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．

(1)、求过A，B，E三点的抛物线的解析式；

(2)、求证：四边形AMCD是菱形；

(3)、请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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20.
已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，

(1)、求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)、在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

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21.
如图1，已知开口向下的抛物线y₁=ax²﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y₁绕点C旋转180°后得到抛物线y₂ ，点A，B的对应点分别为点D，E．

(1)、直接写出点A，C，D的坐标；

(2)、当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线y₂的解析式；

(3)、在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．

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22.
如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- $\frac{5}{2}$ ）三点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

(3)、点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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