广东广州市实验外语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-12-05 类型：期中考试

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一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ， $B = \{x | x (x - 1) > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、R

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2. 函数 $f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{3 x - 2}} + (x - 1)^{0}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2}{3} ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{2}{3} ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $[\frac{2}{3} ， + \infty]$

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3. $2022$ 年 $11$ 月 $1$ 日凌晨 $4$ 点 $27$ 分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $a, b > 0$ 且 $a b = 2$ ，则 $(a + 1) (b + 2)$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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5. 已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 5 m - 2) x^{m}$ 是定义域上的奇函数，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ 或3 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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6. 若不等式 $\frac{a - 5}{x - 2} > 1$ 的解集为 ${x ∣ 2 < x < 4}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{cases}$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- 3, - 2]$ D、 $[- 3, - 2]$

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8. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1, x \in [0, 2]$ ，函数 $g (x) = a x - 1$ ， $x \in [- 1, 1]$ ，对于任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1, 1]$ ，使得 $g (x_{2}) = f (x_{1})$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 3]$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3] \cup (3, + \infty)$

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二、多选题（共3小题，每小题6分，共计18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的是（）

A、至少有一个实数 $x$ ，使 $x^{2} + 1 = 0$ B、“ $a > b > 0$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的充分不必要条件 C、命题“ $\exists x \in R, x^{2} - x + \frac{1}{4} < 0$ ”的否定是假命题 D、“集合 $A = \{x |a x^{2} + x + 1 = 0\}$ ”中只有一个元素是“ $a = \frac{1}{4}$ ”的必要不充分条件

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10. （多选）设正实数 $a ， b$ 满足 $a ＋ b ＝ 1$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $\sqrt{a b}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最大值4 C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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11. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ， $f (2) = 4$ ，则（）

A、 $f (4) = 8$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 为减函数 D、当 $x < - 2$ 时， $f (x) - 2 > f (2 x + 1)$

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三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分）

12. 集合 ${(x, y)| x^{2} + y^{2} < 2, x \in Z, y \in Z}$ 的真子集的个数是.

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13. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x ∣ x < - 1 或 x > 3\}$ ，则 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为．

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14. 若函数 $y = \frac{k x + 2022}{k x^{2} + k x + 3}$ 的定义域是 $R$ ，则实数 $k$ 的取值范围是.

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四、解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知集合 $A = \{x |m + 1 \leq x \leq 3 m - 1\}$ ， $B = \{x |1 \leq x \leq 10\}$ .

(1)、若 $m = 5$ ，求集合 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 6]$ 单调递减；

(2)、若 $g (x)$ 是奇函数，其定义域为 $[- 6, - 2] \cup [2, 6]$ ，当 $x \in [2, 6]$ 时， $g (x) = f (x)$ ，求 $x \in [- 6, - 2]$ 时， $g (x)$ 的解析式，并求 $g (x)$ 的最大值和最小值．

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17. 近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒 $x$ 年（ $x$ 为正整数）所用的各种费用总计为 $2 x^{2} + 10 x$ 万元.

(1)、该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？

(2)、该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？

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18. 设函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ ，且对任意的正实数 $x$ 、 $y$ 都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 恒成立，已知 $f (16) = 4$ ，且 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$

(1)、求 $f (1)$ 与 $f (2)$ 的值

(2)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

(3)、解不等式 $f (x) + 1 > \frac{1}{2} f (12 x - 8)$

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19. 已知函数 $f (x)$ ，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有 $f (x + k) + f (x) = x$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是“ $M_{k}$ 类函数”．

(1)、若函数 $f (x) = a x + b$ 是“ $M_{1}$ 类函数”，求实数 $a, b$ 的值；

(2)、若函数 $g (x)$ 是“ $M_{2}$ 类函数”，且当 $x \in [0, 2]$ 时， $g (x) = x (2 - x)$ ，求函数 $g (x)$ 在 $x \in [2, 6]$ 时的最大值和最小值；

(3)、已知函数 $f (x)$ 是“ $M_{k}$ 类函数”，是否存在一次函数 $h (x) = A x + B$ （常数 $A, B \in R$ ， $A \neq 0$ ），使得 $F (x + 2 k) = F (x)$ ，其中 $F (x) = f (x) + h (x)$ ，说明理由．

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