苏科版数学八年级上册3.3勾股定理的简单应用同步练习

试卷更新日期：2026-09-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度是（）

A、16米 B、14米 C、12米 D、10米

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2. 如图，在高为 $5 m$ ，坡面长为 $13 m$ 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）．

A、 $30 m$ B、 $25 m$ C、 $18 m$ D、 $17 m$

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3. 我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含意是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）

A、 $x^{2} + 6^{2} = {(10 - x)}^{2}$ B、 $6^{2} = 1 0^{2} - x^{2}$ C、 $x^{2} - 6^{2} = {(6 + x)}^{2}$ D、 $x^{2} = {(10 + x)}^{2}$

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4. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形 $A, B, C, D$ 的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形 $E$ 的面积是（）

A、10 B、12 C、28 D、30

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5. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何?”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少?”如图，设户广为x尺，可列出方程（）

A、 ${(x - 6.8)}^{2} + x^{2} = 1 0^{2}$ B、 ${(x + 6.8)}^{2} + x^{2} = 1 0^{2}$ C、 ${(x + 6.8)}^{2} + 1 0^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x + 6.8)}^{2}$

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6. 为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知 $A B$ 为吊车起重臂，长为 $20$ 米，点B到路灯杆的水平距离 $B C$ 为 $16$ 米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（）

A、 $12$ 米 B、 $14$ 米 C、 $16$ 米 D、 $18$ 米

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7. 如图，某港口 $P$ 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行 $16$ 海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行 $12$ 海里．它们离开港口 $1.5$ 小时后分别位于点 $Q, R$ 处，此时两船的距离是（）

A、20海里 B、24海里 C、30海里 D、32海里

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8. 如图，一架 $25m$ 的云梯AB斜靠在一竖直的墙 $A O$ 上，这时 $A O$ 为 $24m$ ．如果梯子 $A B$ 的底端向墙一侧移动了 $2m$ ，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　）

A、 $(10 \sqrt{6} - 24) m$ B、 $1m$ C、 $2m$ D、 $(4 - \sqrt{5}) m$

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9. 我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高AB为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是( )

A、20尺 B、22尺 C、25尺 D、30尺

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10. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若 $A C = 6$ ， $B C = 5$ ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

A、 $80$ B、 $78$ C、 $76$ D、 $72$

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二、填空题

11. 《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为．

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12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=8，AC=10，AC|的垂直平分线DE 分别交AB，AC 于D，E 两点，则 BD 的长为．

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13. 已知在 $4 \times 5$ 的网格中，每个小正方形的边长为 $1 ， A ， B$ 点均在格点上．以 $A B$ 为边作直角三角形 $A B C$ （ $C$ 点在格点上），能作个．

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14. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，若 $S_{2} + S_{1} - S_{3} = 36$ ，则阴影部分的面积为．

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的一点．连接 $A D$ ，作 $D E ⊥ A B 于点 E$ ，则 $A D + D E$ 的最小值是．

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三、作图题

16. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．试在各网格中画出顶点在格点上，且符合相应条件的图形．

(1)、在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

(2)、在图2中以格点为顶点画一个△ABC ，使得AB＝2，AC＝ $\sqrt{5}$ ， BC＝ $\sqrt{13}$ ．

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17. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如题20-1图所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，直角所对的边长为c）．

(1)、如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1： $S_{阴影} =$ ________；
方法2： $S_{阴影} =$ ________；
方法1和方法2所得结果相等，整理可以得到等式：________．
这就是勾股定理，勾股定理把数和形联系起来，描述了直角三角形三边之间的数量关系．在解决数学问题时，我们还经常利用同一图形面积的不同计算方式得出的结果相等的方法来解决问题，称为等面积法．

(2)、方法运用：如图2，在直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，用尺规作图作 $A B$ 边上的高 $C D$ （保留作图痕迹），并求 $C D$ 的长．

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四、解答题

18. 甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位： mm)如图所示，分别求它们的高 $h_{1}, h_{2} .$

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19. 消防车上的云梯示意图如图 $1$ 所示，云梯最多只能伸长到 $15$ 米，消防车高 $3$ 米，如图 $2$ ，某栋楼发生火灾，在这栋楼的 $B$ 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置 $A$ 与楼房的距离为 $12$ 米．

(1)、求 $B$ 处与地面的距离．

(2)、完成 $B$ 处的救援后，消防员发现在 $B$ 处的上方 $3$ 米的 $D$ 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从 $A$ 处向着火的楼房靠近的距离 $A C$ 为多少米？

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20. 实验探究：

实验情景示意图
实验使用装置	①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子 $A$ ，一端固定在滑块 $B$ 上，另一端固定在物体 $C$ 上；（ $A 、 B 、 C$ 可以视作三个点）②滑块 $B$ 可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体 $C$ 的高度．
初始状态	（图1） $A C$ 垂直 $B C, A C = 8 dm$ ，且 $A B + B C = 16 dm$ ，设 $A B = x dm$ ．
实验条件	绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略．

任务：

(1)、求绳子的总长度；

(2)、（图2）若物体

C

升高

7 dm

，求滑块

B

向左滑动的距离．

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21. 校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端 $A$ ， $B$ 之间的距离，他们的操作过程如下：①沿 $A B$ 延长线的方向，在池塘边的空地上选点 $C$ ，使 $B C = 6$ 米；②在AC的一侧选点 $D$ ，恰好使 $B D = 8$ 米， $C D = 10$ 米；③测得 $A D = 17$ 米．请根据他们的操作过程，回答以下问题：

(1)、求 $∠ A B D$ 的度数；

(2)、求出 $A$ ， $B$ 两点间的距离．

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22. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．

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