苏科版数学八年级上册3.1勾股定理的探究同步练习

试卷更新日期：2026-09-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，如果 $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，那么 $A C$ 的长是（）．

A、10 B、 $2 \sqrt{7}$ C、10或 $2 \sqrt{7}$ D、7

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2. 若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（）

A、5 B、10 C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，下列结论错误的是（）

A、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ B、 $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ C、 $B C = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}}$ D、 ${(A C + B C)}^{2} = A B^{2}$

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4. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若 $a b = 6$ ，小正方形的面积为36，则大正方形的边长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{15}$ C、8 D、6

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5. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点 $M$ 在数轴上表示的数是（）．

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　)

A、 B、 C、 D、

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7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（）

A、11 B、47 C、26 D、35

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8. 一个圆桶底面直径为 $24 cm$ ，高 $32 cm$ ，则桶内所能容下的最长木棒为（）

A、 $50 cm$ B、 $45 cm$ C、 $40 cm$ D、 $38 cm$

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9. 在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图1所示摆放，再将这些图形重新拼接成如图2所示的图形．已知拼接后点A，B为图2中图形的顶点，则AB的长为( )

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2} - 1$

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10. 如图， △ABC中， ∠BAC=60°， ∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD 相交于D. DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD； ③DM平分∠EDF； ④AB+AC= $\sqrt{3}$ AD；正确的是( )

A、①② B、①③ C、①②③ D、①②④

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二、填空题

11. 如图，在数轴上点A表示的实数是．

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12. 直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是．

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13. 若等腰三角形的腰长是10，底边长是16，则底边上的高是.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B ， A C$ 于点D，E， $A E = 13$ ， $C E = 5$ ，则线段 $C B$ 的长为.

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15. 将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2} =$ ．

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三、计算题

16. 如图，有两只猴子爬到一棵树 $C D$ 上的点 $B$ 处，且 $B C = 2 m$ ，突然发现远方 $A$ 处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树 $6 m$ 的 $A$ 处，另一只猴子先爬到树顶 $D$ 处后再沿缆绳 $D A$ 滑到 $A$ 处，已知两只猴子所经过的路程相等，设 $B D$ 为 $x m$ ．

(1)、请用含有 $x$ 的整式表示线段 $A D$ 的长： $m$ ；

(2)、求这棵树高有多少米？

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17. 下面是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理：

错题：如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 10 ， B C = 9 ， A C = 17$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积．

正解：过点A作 $A D ⊥ C B$ 交 $C B$ 的延长线于点 $D$ ，

则 $∠ A D C = 90 °$ ，

设 $B D = x$ ，则 $C D = 9 + x$ ，

．．．．．．

(1)、根据勾股定理可得，

A D^{2} =

___________或___________．（用含

x

的代数式表示）

(2)、请你补全上面的过程，并求出

△ A B C

的面积．

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18. 【题目】求 $\sqrt{2}$ 的整数部分．
【解题方法】方法一：由 ${(\sqrt{2})}^{2} = 2$ ，得 $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$ ，
$∴ 1 < \sqrt{2} < 2$ ，
$∴ \sqrt{2}$ 的整数部分是1．
方法二：如图①，正方形 $A B C D$ 的边长为1，由勾股定理可求得对角线 $A C$ 的长为 $\sqrt{2}$ ，再由三边关系可求得 $1 < \sqrt{2} < 2$ ，进而求得的整数部分是1．
【应用】

(1)、利用方法一求 $\sqrt{11}$ 的小数部分；

(2)、如图②，在 $3 \times 3$ 的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．借助图②，利用方法二说明 $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ 与 $\sqrt{10}$ 的大小关系．

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19. （1）如图1， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，连接 $A D ， B E$ ．求证： $A D = B E$ ．
（2）如图2， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等边三角形， $∠ E A C = 30 ° ， A C = 4 ， A E = 5$ ，连接 $A D$ ．求 $A D$ 的长．

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