上海市长宁、嘉定区2017-2018学年数学高三第一次质量调研试卷

试卷更新日期：2018-03-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设角 $α$ 的始边为 $x$ 轴正半轴，则“ $α$ 的终边在第一、二象限”是“ $sin α > 0$ ”的…（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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2. 若直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 是异面直线， $l_{1}$ 在平面 $α$ 内， $l_{2}$ 在平面 $β$ 内，l是平面 $α$ 与平面 $β$ 的交线，则下列命题正确的是（）

A、 $l$ 与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 都相交 B、 $l$ 与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 都不相交 C、 $l$ 至少与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 中的一条相交 D、 $l$ 至多与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 中的一条相交

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3. 对任意两个非零的平面向量 $\overset{⇀}{α}$ 和 $\overset{⇀}{β}$ ，定义 $\overset{⇀}{α} \otimes \overset{⇀}{β} = \frac{| \overset{⇀}{α} |}{| \overset{⇀}{β} |} cos θ$ ，其中 $θ$ 为 $\overset{⇀}{α}$ 和 $\overset{⇀}{β}$ 的夹角．若两个非零的平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 和 $\overset{⇀}{b}$ 满足：① $| \overset{⇀}{a} | \geq | \overset{⇀}{b} |$ ；② $\overset{⇀}{a}$ 和 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ \in (0, \frac{π}{4})$ ；③ $\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{b}$ 和 $\overset{⇀}{b} \otimes \overset{⇀}{a}$ 的值都在集合 ${x | x = \frac{n}{2}, n \in N}$ 中．则 $\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{b}$ 的值为（）．

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x, 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\ 2 - 2 x, \frac{1}{2} < x \leq 1, \end{matrix}$ 且 $f_{1} (x) = f (x)$ ， $f_{n} (x) = f (f_{n - 1} (x))$ ， $n = 1, 2, 3,$ …．则满足方程 $f_{n} (x) = x$ 的根的个数为（）．

A、 $2 n$ 个 B、 $2 n^{2}$ 个 C、 $2^{n}$ 个 D、 $2 (2^{n} - 1)$ 个

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二、填空题

5. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = {2, 4, 5}$ ，则 $A \cap B =$ .

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6. 不等式 $\frac{x}{x + 1} \leq 0$ 的解集为.

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7. 已知 $sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $cos (α + \frac{π}{2}) =$ .

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8. $lim_{n \to \infty} \frac{3^{n} - 1}{3^{n + 1} + 1} =$ .

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9. 已知球的表面积为 $16 π$ ，则该球的体积为.

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10. 已知函数 $f (x) = 1 + \log_{a} x$ ， $y = f^{- 1} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的反函数，若 $y = f^{- 1} (x)$ 的图象过点 $(2, 4)$ ，则 $a$ 的值为.

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11. 若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{5} = 3$ ，则 $| \begin{matrix} a_{2} & - a_{7} \\ a_{3} & a_{8} \end{matrix} | =$ .

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12. 在△ $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $(a + b + c) (a - b + c) = a c$ ，则 $B =$ .

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13. 若 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 $256$ ，则该展开式中常数项的值为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 $4$ 的偶函数，当 $x \in [2 ， 4]$ 时 $f (x) = | {log}_{4} (x - \frac{3}{2}) |$ ，则 $f (\frac{1}{2})$ 的值为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ , $2 S_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ （ $n \in N^{*}$ ），若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{2 n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ,则数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ .

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16. 若不等式 $x^{2} - 2 y^{2} \leq c x (y - x)$ 对任意满足 $x > y > 0$ 的实数 $x$ ， $y$ 恒成立，则实数 $c$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 如图，设长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 3$ ， $A A_{1} = 4$ ．

(1)、求四棱锥 $A_{1} - A B C D$ 的体积；

(2)、求异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

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18. 已知复数 $z$ 满足 $| z | = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 的虚部为2．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设 $z, z^{2}, z - z^{2}$ 在复平面上的对应点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，求△ $A B C$ 的面积．

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19. 一根长为 $L$ 的铁棒 $A B$ 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽 $A C = B D = 2$ $m$ ．

(1)、设 $∠ B O D = θ$ ，试将 $L$ 表示为 $θ$ 的函数；

(2)、求 $L$ 的最小值，并说明此最小值的实际意义．

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ．

(1)、求证：函数 $f (x)$ 是偶函数；

(2)、设 $a \in R$ ，求关于 $x$ 的函数 $y = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 2 a f (x)$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 时的值域 $g (a)$ 的表达式；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $m f (x) \leq 2^{- x} + m - 1$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 时恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{n + 1}} = \sqrt{\frac{1}{a_{n}^{2}} + 4}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $\frac{S_{n + 1}}{a_{n}^{2}} = \frac{S_{n}}{a_{n + 1}^{2}} + 16 n^{2} - 8 n - 3$ ，试确定 $b_{1}$ 的值，使得数列 ${b_{n}}$ 为等差数列；

(3)、将数列 ${\frac{1}{a_{n}^{2}}}$ 中的部分项按原来顺序构成新数列 ${c_{n}}$ ，且 $c_{1} = 5$ ，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列 ${c_{n}}$ ．

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