广东省潮州市2017-2018学年高二上学期文数期末教学质量试卷

试卷更新日期：2018-03-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} + x - 2 \geq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2]$ D、 $(- \infty, - 2]$ $\cup [1 ， + \infty)$

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上,且离心率 $e = \frac{3}{5}$ ,则 $m =$ （）

A、9 B、5 C、25 D、-9

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3. 在 $Δ A B C$ 中,“ $cos A < 0$ ”是 $Δ A B C$ 为钝角三角形的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中, $a_{1} = a_{8} = 3$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n}$ （）

A、 $\frac{3}{2} (3^{n} - 1)$ B、 $n^{2}$ C、 $3^{n}$ D、 $3 n$

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5. 当 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} y \leq x \\ y \geq - 1 \\ x + y \leq 1 \end{matrix}$ 时，目标函数 $t = 2 x + y$ 最小直是（）

A、-4 B、-3 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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6. 若 $f (x) = 3 x^{2} - x + 1$ ， $g (x) = 2 x^{2} + x - 1$ ，则（）

A、 $f (x) = g (x)$ B、 $f (x) > g (x)$ C、 $f (x) < g (x)$ D、 $f (x), g (x)$ 的大小与 $x$ 的取值无关

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7. 如图：在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1} ， B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{A A_{1}} = \overset{⇀}{c}$ ，则向量 $\overset{⇀}{B M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$

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8. 在同一坐标系中，方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与 $\frac{x}{a} + \frac{y^{2}}{b} = 0$ $(a > b > 0)$ ，表示的曲线大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n^{2} + n$ ,那么它的通项公式是（）

A、 $a_{n} = 2 n - 1$ B、 $a_{n} = 2 n + 1$ C、 $a_{n} = 4 n - 1$ D、 $a_{n} = 4 n + 1$

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10. 海洋中有 $A, B, C$ 三座灯塔.其中 $A, B$ 之间距高为 $a$ ，在 $A$ 处观察 $B$ ,其方向是南偏东 $40^{\circ}$ ，观察 $C$ ,其方向是南偏东 $70^{\circ}$ ,在 $B$ 处現察 $C$ ,其方向是北偏东 $6 5^{\circ}$ , $B, C$ 之的距离是（）

A、 $a$ B、 $\sqrt{2} a$ C、 $\frac{1}{2} a$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$

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11. 如果点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ 是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 上的点,它的横坐标依次为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ， $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点，若 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 10$ ，则 $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F | + | P_{4} F | =$ （）

A、8 B、18 C、10 D、20

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12. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y - x y = 0$ ，若 $x + 2 y > m^{2} + 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， - 2] \cup [4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 4] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 2)$

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二、填空题

13. 命题若 $x^{2} + y^{2} = 0$ ,则 $x, y$ 都为零的逆否命题是．

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $A C = \sqrt{3}$ ， $A = 45^{\circ}, C = 75^{\circ}$ ，则 $B C =$ .

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15. 若 $A (- 1, 2, 3), B (2, - 4, 1), C (x ， - 1 ， - 3)$ 是 $B C$ 为斜边的直角三角形的三个顶点,则 $x =$ .

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16. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} > 0$ ， $5 a_{15} = 3 a_{8}$ ，则当 $n =$ 时， $S_{n}$ 取得最大值.

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 5, b = 8, cos C = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 Δ A B C 的面积；

(2)、求 Δ A B C 中最大角的余弦值.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $s_{n}$ , 且满足 $a_{3} = 6$ ， $S_{11} = 132$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知 $m \in R$ ,命题 $p : \forall x \in [0, 1], 2 x - 2 \geq m^{2} - 3 m$ ，命题 $q : \exists x_{0} \in [-1, 1], m \leq x_{0}$ .

(1)、若 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $“ p \land q ”$ 是假命题, 命题 $“ p \lor q ”$ 是真命题,求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 $100$ 个，生产一个卫兵需 $5$ 分钟，生产一个骑兵需 $7$ 分钟，生产一个伞兵需 $4$ 分钟，已知总生产时间不超过 $10$ 小时，若生产一个卫兵可获利润 $5$ 元，生产一个骑兵可获利润 $6$ 元，生产一个伞兵可获利润 $3$ 元.

(1)、用每天生产的卫兵个数 $x$ 与骑兵个数 $y$ 表示每天的利润 $W$ （元）；

(2)、怎么分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 底面 $A B C D$ 为菱形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D = 5$ ， $A D = 6$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ P E$ ；

(2)、二面角 $D - P A - B$ 的余弦值.

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22. 如图，在直角坐标 $x o y$ 中，设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过右焦点 $F_{1}$ 且与 $x$ 轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交，其中一个交点为 $M (\sqrt{2} ， 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

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