福建省宁德市2017-2018学年高三理数第一次质量试卷

试卷更新日期：2018-03-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x \leq 3}$ ， $B = {x | 2^{x} > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 3]$ B、 $(0, 3]$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $[- 1, 1)$

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2. 已知复数 $z_{1}$ 对应复平面上的点 $(- 1, 1)$ ，复数 $z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} = - 2$ ，则 $| z_{2} + 2 i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $10$

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3. 若 $tan (\frac{π}{4} - α) = - \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 $a$ 的值为（）

A、 $10$ B、 $lg 99$ C、 $2$ D、 $lg 101$

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5. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y - 1 \leq 0 ， \\ x + 1 \geq 0 ， \\ y - m \leq 0 ， \end{matrix}$ 若目标函数 $z = x - 2 y$ 的最小值大于 $- 5$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， \frac{11}{3})$ B、 $[- 3 ， \frac{11}{3})$ C、 $[- 3 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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6. 福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将 $A, B, C, D,$ $E, F$ 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求 $A, B$ 必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）

A、15种 B、18种 C、20种 D、22种

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7. 一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）

A、 $4 + \sqrt{7} + \frac{3 π}{2}$ B、 $4 + \sqrt{7} + \frac{5 π}{2}$ C、 $2 + \sqrt{7} + \frac{5 π}{2}$ D、 $1 + \sqrt{7} + \frac{3 π}{2}$

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8. 已知 $a = {log}_{0.6} 2, b = {log}_{2} 0.6, c = {0.6}^{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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9. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 点且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与抛物线相交于A,B两点，若以 $A B$ 为直径的圆过点 $(- \frac{p}{2}, 2)$ ，则该抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 8 x$ D、 $y^{2} = 16 x$

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10. 我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）

A、 $58$ B、 $59$ C、 $60$ D、 $61$

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11. 函数 $f (x) = a sin ω x + b cos ω x$ ( $a ， b \in R ， ω > 0$ )，满足 $f (- \frac{2 π}{3} + x) = - f (- x)$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (- \frac{π}{6})$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f {(x)}_{max} = | a |$ B、 $f (- x) = f (x)$ C、 $a = \sqrt{3} b$ D、 $ω = 3$

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12. 设函数 $f (x) = a e^{x - 1} - 1 - e^{x} ln (x + 1)$ 存在零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1 + eln 2)$ B、 $(- eln 2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - eln 2)$ D、 $(1 + eln 2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{7}$ ，则 $| \vec{b} | =$ ．

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14. 若双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 关于其中一条渐近线的对称点 $P$ 落在另一条渐近线上，则双曲线 $C$ 的离心率 $e$ = ．

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15. 若正三棱台 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的上、下底面边长分别为 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ ，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为．

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三、解答题

16. 设函数 $f (x) = | x^{2} - 2 x - 1 |$ ，若 $a > b \geq 1$ ， $f (a) = f (b)$ ，则对任意的实数 $c$ ， ${(a - c)}^{2} + {(b + c)}^{2}$ 的最小值为．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} > 0$ ， $a_{n} = 2 \sqrt{S_{n}} - 1$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，点 $F$ 是 $A C$ 上的动点．现将矩形 $A B C D$ 沿着对角线 $A C$ 折成二面角 $D^{'} - A C - B$ ，使得 $D^{'} B = \sqrt{30}$ ．
（Ⅰ）求证：当 $A F = \sqrt{3}$ 时， $D^{'} F ⊥ B C$ ；
（Ⅱ）试求 $C F$ 的长，使得二面角 $A - D^{'} F - B$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ．

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19. 如图，岛 $A$ 、 $C$ 相距 $10 \sqrt{7}$ 海里．上午9点整有一客轮在岛 $C$ 的北偏西 $40^{0}$ 且距岛 $C$ $10$ 海里的 $D$ 处，沿直线方向匀速开往岛 $A$ ，在岛 $A$ 停留 $10$ 分钟后前往 $B$ 市．上午 $9 ： 30$ 测得客轮位于岛 $C$ 的北偏西 $70^{0}$ 且距岛 $C$ $10 \sqrt{3}$ 海里的 $E$ 处，此时小张从岛 $C$ 乘坐速度为 $V$ 海里/小时的小艇沿直线方向前往 $A$ 岛换乘客轮去 $B$ 市．

（Ⅰ）若 $V \in (0 ， 30]$ ，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得 $cos ∠ B A C = - \frac{4}{5}$ ， $sin ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．已知速度为 $V$ 海里/小时( $V \in (0 ， 30]$ )的小艇每小时的总费用为( $\frac{1}{2} V^{2} + V + 50$ )元，若小张由岛 $C$ 直接乘小艇去 $B$ 市，则至少需要多少费用？

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．过 $P (0 ， \frac{\sqrt{3}}{2} b)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $M$ ， $N$ ．当 $k = 0$ 时，四边形 $M N F_{1} F_{2}$ 恰在以 $M F_{1}$ 为直径，面积为 $\frac{25}{16} π$ 的圆上．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若 $| P M | \cdot | P N | = \frac{3}{7} | M N |$ ，求直线 $l$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + ln x (a \in R)$ 有最大值 $- \frac{1}{2}$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x + f (x)$ ，且 $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导数．
（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）证明：当 $x_{1} < x_{2}$ ， $g (x_{1}) + g (x_{2}) + 3 = 0$ 时， $g^{'} (x_{1} + x_{2}) > \frac{1}{2}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 sin θ$ ， $M$ 为曲线 $C_{1}$ 上异于极点的动点，点 $P$ 在射线 $O M$ 上，且 $| O P |, 2 \sqrt{5}, | O M |$ 成等比数列．
（Ⅰ）求点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知 $A (0, 3)$ , $B$ 是曲线 $C_{2}$ 上的一点且横坐标为 $2$ ，直线 $A B$ 与 $C_{1}$ 交于 $D, E$ 两点，试求 $| | A D | - | A E | |$ 的值．

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23. 选修4—5：不等式选讲
已知 $f (x) = x^{2} + a (a \in R)$ ， $g (x) = | x + 1 | + | x - 2 |$
（Ⅰ）若 $a = - 4$ ，求不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集；
（Ⅱ）若 $x \in [0, 3]$ 时， $f (x) > g (x)$ 的解集为空集，求 $a$ 的取值范围．

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