安徽省黄山2017-2018学年高三理数一模检测试卷

试卷更新日期：2018-03-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $M = {y | y = lg (x^{2} + 1), x \in R}$ ，集合 $N = {x | 4^{x} > 4, x \in R}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, 1)$

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2. 已知复数 $z_{1} = 1 + a i$ ， $z_{2} = 3 + 2 i$ ， $a \in R$ , $i$ 是虚数单位，若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是实数，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 与直线 $y = 2 x$ 无交点，则离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(1 ， \sqrt{5})$ D、 $(1 ， \sqrt{5}]$

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4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）

A、 $50 \sqrt{5}$ B、 $50 \sqrt{7}$ C、 $50 \sqrt{11}$ D、 $50 \sqrt{19}$

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5. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为 $V = \frac{1}{12} \times$ (底面圆的周长的平方 $\times$ 高)，则由此可推得圆周率 $π$ 的取值为（）

A、 $3$ B、 $3.1$ C、 $3.14$ D、 $3.2$

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6. 下列判断错误的是（）

A、若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2}), P (ξ \leq 3) = 0.72$ ,则 $P (ξ \leq - 1) = 0.28$ ； B、若 $n$ 组数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}),_{} {...}_{}, (x_{n}, y_{n})$ 的散点都在 $y = - x + 1$ 上，则相关系数 $r = - 1$ ； C、若随机变量 $ξ$ 服从二项分布： $ξ \sim B (5, \frac{1}{5})$ , 则 $E (ξ) = 1$ ； D、 $a m > b m$ 是 $a > b$ 的充分不必要条件；

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7. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $m = 168 ， n = 112$ ，则输出的 $k$ ， $m$ 的值分别为（）

A、 $4 ， 7$ B、 $4 ， 56$ C、 $3 ， 7$ D、 $3 ， 56$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且 $f (x)$ 是偶函数，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ .令 $g (x) = f (x) - k x - k$ ，若在区间 $[- 1 ， 3]$ 内，函数 $g (x) = 0$ 有4个不相等实根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{3}]$

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9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 $5$ 架“歼— $15$ ”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）

A、 $24$ B、 $36$ C、 $48$ D、 $96$

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10. 2017年中学数学信息技术研讨会，谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程 $| y - 8 | + {(| x - 1 | + | x - 6 | - 5)}^{2} = 0$ ，计算器显示线段 $A B$ ，则线段 $C D$ 的曲线方程为（）

A、 $| x - y + 3 | + {(| x - 2 | + | x - 4 | - 2)}^{2} = 0$ B、 $| x + y + 3 | + {(| x - 2 | + | x - 4 | - 2)}^{2} = 0$ C、 $| x - y + 3 | + {(| x - 2 | + | x - 4 | + 2)}^{2} = 0$ D、 $| x + y + 3 | + {(| x + 2 | + | x - 4 | - 2)}^{2} = 0$

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11. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）

A、 $\frac{20 π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $9 π$ D、 $\frac{19 π}{3}$

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12. 设函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - m x + m$ ，其中 $m < 1$ ，若存在唯一的整数 $n$ ，使得 $f (n) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2 e} ， 1)$ B、 $[- \frac{3}{2 e} ， \frac{3}{4})$ C、 $[\frac{3}{2 e} ， \frac{3}{4})$ D、 $[- \frac{3}{2 e} ， 1)$

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二、填空题

13. ${(\frac{1}{x^{2}} + 4 x^{2} + 4)}^{3}$ 的展开式的常数项为．

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14. 将函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上为增函数，则 $ω$ 的最大值为．

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15. 已知直线 $l ：$ $x = m y + n (n > 0)$ 过点 $A (5 \sqrt{3} ， 5)$ ，若可行域 ${\begin{matrix} x \leq m y + n \\ x - \sqrt{3} y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 的外接圆直径为20，则 $n =$ ．

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16. 给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为．
①函数 $f (x) = 3 a x + a - 1$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上存在一个零点，则 $a$ 的取值范围是 $- \frac{1}{2} < a < \frac{1}{4}$ ；
②“ $b^{2} = a c$ ”是“ $a ，_{} b ，_{} c$ 成等比数列”的必要不充分条件；
③ $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $sin x < x < tan x$ ；
④若 $0 < a < b < 1$ ，则 $ln a < ln b < a^{b} < b^{a}$ .

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是公比大于零的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2$ , $a_{3} = b_{3} = 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式;

(2)、记 $c_{n} = a_{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ，且 $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(2)、棱 $P D$ 上是否存在一点 $E$ 满足 $∠ A E C = 90 °$ ?若存在，求 $A E$ 的长；若不存在，说明理由.

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19. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 $50$ 名同学（男 $30$ 人，女 $20$ 人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：

几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50

几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
附表及公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、能否据此判断有 $97.5 %$ 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

(2)、现从选择做几何题的 $8$ 名女生中，任意抽取两人，对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和 $E (X)$ .

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{2} ， F_{1} ，$ 短轴两个端点为 $A ， B ，$ 且四边形 $F_{1} A F_{2} B$ 是边长为 $2$ 的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若 $C ， D$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 $M$ 满足 $M D ⊥ C D$ ，连接 $C M$ ，交椭圆于点 $P$ ．证明： $\overset{⇀}{O M} \cdot \overset{⇀}{O P}$ 为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = x - a x^{2} - ln x (a > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 3 - 2 ln 2$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，以 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 4 \cos θ$ ，直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{cases} x = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），两曲线相交于 $M ， N$ 两点.

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；

(2)、若 $P (- 2 ， - 4)$ 求 $| P M | + | P N |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = k - | x - 4 |$ ， $x \in R$ ，且 $f (x + 4) \geq 0$ 的解集为 $[- 1 ， 1]$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若 $a ， b ， c$ 是正实数，且 $\frac{1}{k a} + \frac{1}{2 k b} + \frac{1}{3 k c} = 1$ ，求证： $\frac{1}{9} a + \frac{2}{9} b + \frac{3}{9} c \geq 1$ .

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	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50
	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50