安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-03-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 空间直角坐标系中，点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 关于平面 $x O z$ 对称的点的坐标为（）

A、（-1，2，3） B、（1，-2，3） C、（1，2，-3） D、（-1，-2，-3）

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2. 若直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 6 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + (a - 1) y + (a^{2} - 1) = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、 $a = 1$ B、 $a = 2$ C、 $a = - 2$ D、 $a = - 1$

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3. 将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为 $S_{1}, S_{2}$ ，那么 $S_{1} : S_{2} =$ （）

A、 $1 : 2$ B、 $2 : 1$ C、 $1 : 4$ D、 $4 : 1$

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4. 准线为 $y = - \frac{3}{4}$ 的抛物线标准方程是（）

A、 $x^{2} = 3 y$ B、 $y = - \frac{3}{2} x^{2}$ C、 $x = 3 y_{}^{2}$ D、 $x = - \frac{3}{2} y^{2}$

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5. 下列命题中正确的是（）

A、如果平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，则 $α$ 内任意一条直线必垂直于 $β$ B、若直线 $l$ 不平行于平面 $α$ ，则 $α$ 内不存在直线平行于直线 $l$ C、如果平面 $α$ 不垂直于平面 $β$ ，那么平面 $α$ 内一定不存在直线垂直于平面 $β$ D、若直线 $l$ 不垂直于平面 $α$ ，则 $α$ 内不存在直线垂直于直线 $l$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点为 $F (2, 0)$ ，且离心率 $e = 2$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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7. “直线 $a, b$ 不相交”是“直线 $a, b$ 为异面直线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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8. 已知点 $M$ 是直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 上的动点，点 $N$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 上的动点，则 $| M N |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、1 C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{13}{5}$

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9. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）

A、 $48 m^{3}$ B、 $30 m^{3}$ C、 $28 m^{3}$ D、 $24 m^{3}$

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10. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在双曲线的右支上，以 $A F$ 为直径的圆 $M$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外切 C、相离 D、内切

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11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面 $A B C D$ 为矩形，棱 $E F ∥ A B$ .若此几何体中， $A B = 4 ， E F = 2$ ， $Δ A D E$ 和 $Δ B C F$ 都是边长为 $2$ 的等边三角形，则此几何体的表面积为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $8 + 8 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ D、 $8 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

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12. 设抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，两垂直直线过 $F$ ，与抛物线相交所得的弦分别为 $A B, C D$ ，则 $| A B | \cdot | C D |$ 的最小值为（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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二、填空题

13. 命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是.

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14. 直线 $l$ 垂直于 $3 x + 4 y - 1 = 0$ ，且平分圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 4 = 0$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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15. 将边长为 $1$ 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$ （及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图， $∠ A O C = 120^{\circ}$ ， $∠ A_{1} O_{1} B_{1} = 60^{\circ}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧．则异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成的角的大小是．

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16. 已知点 $A (1, e)$ 和点 $B (e, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 都在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，其中 $e$ 为椭圆的离心率，则 $e =$ .

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三、解答题

17. 已知 $p$ ： $x^{2} - 5 x - 14 \leq 0$ ， $q$ ： $[x - (1 + a)] [x - (1 - a)] \leq 0 (a > 0)$ .若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $2 x - y - 1 = 0$ 上，且圆 $C$ 经过点 $A (4, 2), B (0, 2)$ .

(1)、求圆的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (1, 1)$ 且与圆 $C$ 相交，所得弦长为4，求直线 $l$ 的方程.

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19. 在三棱锥 $V - A B C$ 中，平面 $V A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = B C$ ， $O ， M$ 分别为 $A B ， V A$ 的中点.

(1)、求证： $V B / /$ 平面 $M O C$ ；

(2)、求证：平面 $M O C ⊥$ 平面 $V A B$ .

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20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 4$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，抛物线 $C$ 交于点 $Q$ ，且 $| Q F | = \frac{5}{4} | P Q |$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过原点 $O$ 作斜率为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 的直线分别交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，直线 $A B$ 过定点 $T (2 ， 0)$ ， $k_{1} k_{2}$ 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.

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21. 如图， $Δ A B C$ 中， $A C = 2 ， B C = 4 ， ∠ A C B = 90^{0}$ ， $D ， E$ 分别是 $A C ， A B$ 的中点，将 $Δ A D E$ 沿 $D E$ 折起成 $Δ P D E$ ，使面 $P D E ⊥$ 面 $B C D E$ ， $H ， F$ 分别是 $P D$ 和 $B E$ 的中点，平面 $B C H$ 与 $P E$ ， $P F$ 分别交于点 $I ， G$ .

(1)、求证： $I H / / B C$ ；

(2)、求二面角 $P - G I - C$ 的正弦值.

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22. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .

(1)、若一条直径的斜率为 $\frac{1}{3}$ ，求该直径的共轭直径所在的直线方程；

(2)、若椭圆的两条共轭直径为 $A B$ 和 $C D$ ，它们的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，证明：四边形 $A C B D$ 的面积为定值.

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