河南省2017-2018学年高三文数一轮复习诊断调研联考试卷

试卷更新日期：2018-03-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x \in R | 3 \leq 3^{2 - x} < 27}$ ， $B = {x \in Z | - 3 < x < 1}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知 $a \in R$ ，复数 $z = \frac{(a - i) (1 + i)}{i}$ ，若 $\bar{z} = z$ ，则 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： $℃$ ）的数据，绘制了下面的折线图。
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A、最低气温与最高气温为正相关 B、10月的最高气温不低于5月的最高气温 C、月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 D、最低气温低于 $0 ℃$ 的月份有4个

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4. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $\frac{3 {sin}^{2} C}{cos C} = 2 sin A sin B$ ，且 $b = 6$ ，则 $c =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $128 π$ 平方尺 B、 $138 π$ 平方尺 C、 $140 π$ 平方尺 D、 $142 π$ 平方尺

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6. 定义 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $(x) = x - [x]$ ，例如 $[2.1] = 2$ ， $(2.1) = 0.1$ ，执行如图所示的程序框图，若输入的 $x = 5.8$ ，则输出的 $z =$ （）

A、 $- 1.4$ B、 $- 2.6$ C、 $- 4.6$ D、 $- 2.8$

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7. 若对于任意 $x \in R$ 都有 $f (x) + 2 f (- x) = 3 cos x - sin x$ ，则函数 $f (2 x)$ 图象的对称中心为（）

A、 $(k π - \frac{π}{4} ， 0)$ （ $k \in Z$ ） B、 $(k π - \frac{π}{8} ， 0)$ （ $k \in Z$ ） C、 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{4} ， 0)$ （ $k \in Z$ ） D、 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{8} ， 0)$ （ $k \in Z$ ）

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8. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 0 ， \\ x + \frac{1}{3} y \leq 1 ， \\ y \geq 0 ， \end{matrix}$ 若 $z = - a x + y$ 取得最大值的最优解不唯一，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $2$ 或 $- 3$ B、 $3$ 或 $- 2$ C、 $- \frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$ 或2

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9. 函数 $f (x) = \frac{x (e^{- x} - e^{x})}{4 x^{2} - 1}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $20 + 12 \sqrt{2} + 2 \sqrt{14}$ B、 $20 + 6 \sqrt{2} +2 \sqrt{14}$ C、 $20+6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{34}$ D、 $20 + 12 \sqrt{2} + 2 \sqrt{34}$

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11. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点 $F$ 作斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的上方），且 $l$ 与准线交于点 $C$ ，若 $\overset{⇀}{C B} = 4 \overset{⇀}{B F}$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $3$ D、 $2$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} + ln x$ 与函数 $g (x) = e^{- x} + 2 x^{2} - a x$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - e]$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{e}]$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中， $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} |$ ， $| \overset{⇀}{A B} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ ．

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14. 一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．

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15. 若 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $sin (α + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{sin 2 α}{cos (\frac{π}{4} - α)} =$ ．

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16. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于 $A$ ， $B$ ，且 $A (m, 18)$ 在第一象限，若 $Δ A B F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线的实轴长为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零， $a_{1} = 3$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．

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18. 从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位： $k g$ ）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)、估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；

(2)、若要从体重在 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90]$ 三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在 $[70 ， 80)$ 内的概率．

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19. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} E ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $∠ A C B = 90 °$ .

(1)、证明： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、若 $A C = 3 B C = 6$ ， $Δ A B_{1} C$ 为等边三角形，求四棱锥 $A_{1} - B_{1} C_{1} E D$ 的体积．

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20. 如图，椭圆 $W$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦距与椭圆 $Ω$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的短轴长相等，且 $W$ 与 $Ω$ 的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为 $A$ ，直线 $l$ 经过 $Ω$ 在 $y$ 轴正半轴上的顶点 $B$ 且与直线 $O A$ （ $O$ 为坐标原点）垂直， $l$ 与 $Ω$ 的另一个交点为 $C$ ， $l$ 与 $W$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求 $W$ 的标准方程；

(2)、求 $\frac{| B C |}{| M N |}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = x - ln x$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线经过坐标原点，求 $x_{0}$ 及该切线的方程；

(2)、设 $g (x) = (e - 1) x$ ，若函数 $F (x) = {\begin{matrix} f (x), x \geq a, \\ g (x), x < a \end{matrix}$ 的值域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t - \sqrt{3} \\ y = k t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），直线 $l_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} - m \\ y = \frac{m}{3 k} \end{matrix}$ （ $m$ 为参数），设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$ ，当 $k$ 变化时， $P$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ .

(1)、写出 $C_{1}$ 的普遍方程及参数方程；

(2)、以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = 4 \sqrt{2}$ ， $Q$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，求点 $Q$ 到 $C_{2}$ 的距离的最小值.

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23. 已知 $f (x) = | x + a |$ （ $a \in R$ ）．

(1)、若 $f (x) \geq | 2 x + 3 |$ 的解集为 $[- 3 ， - 1]$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) + | x - a | \geq a^{2} - 2 a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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