重庆市万州区2017-2018学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-03-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若直线过点（1，2），（4，2+ $\sqrt{3}$ ）则此直线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2. 满足 $f (x) = f^{'} (x)$ 的一个函数是（）

A、 $f (x) = 1 - x$ B、 $f (x) = x$ C、 $f (x) = e^{x}$ D、 $f (x) = 1$

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3. 命题“若 $x^{2} + y^{2} = 0$ ，则x=y=0”的否命题是（）

A、若 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ，则 $x - y \neq 0$ B、若 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ，则 $x \neq y \neq 0$ C、若 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ，则 $x$ 、 $y$ 都不为零 D、若 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ，则 $x$ 、 $y$ 不都为0

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4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、4 B、6 C、8 D、16

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5. [2014·河南洛阳模拟]下列命题中的假命题是（）

A、∀x∈R，2^x^－1＞0 B、∀x∈N^* ， (x－1)²＞0 C、∃x∈R，lgx＜1 D、∃x∈R，tanx＝2

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6. 在空间，下列命题正确的是（）

A、如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β B、如果平面 $α$ 内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则 $α$ ⊥β． C、如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β D、如果平面 $α$ 内的两条直线都平行于平面β，则 $α$ ∥β

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7. 已知 $p, q$ 为命题，则“ $p \lor q$ 为假”是“p $\land q$ 为假”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 平面 $α$ 与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与 $α$ 的位置关系是（）

A、异面 B、相交 C、平行或相交 D、平行

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9. 已知点 $A$ 的坐标为(5，2)，F为抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，若点 $P$ 在抛物线上移动，当 $| P A | + | P F |$ 取得最小值时，则点 $P$ 的坐标是（）

A、(1， $\sqrt{2}$ ) B、 $(\sqrt{2} ， 2)$ C、 $(\sqrt{2} ， - 2)$ D、 $(4 ， 2)$

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10. 垂直于直线 $2 x - 6 y + 1 = 0$ ，且与曲线 $y = x^{3} + 3 x^{2} - 1$ 相切的直线方程是（）

A、 $3 x + y + 2 = 0$ B、 $3 x - y + 2 = 0$ C、 $3 x + y - 2 = 0$ D、 $3 x - y - 2 = 0$

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11. 若直线 $y = k (x - 2) + 4$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{5}{12})$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{5}{12} ， \frac{3}{4}]$ D、 $(\frac{5}{12} ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ ， $g (x) = 2^{x} - a$ ，若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，存在 $x_{2} \in [0, 2]$ 使 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq 2$ ，则实数a的取值范围（）

A、[1，5] B、[2，5] C、[﹣2，2] D、[5，9]

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二、填空题

13. 曲线 $f (x) = x^{2} + 3 x$ 在点A（2，10）处的切线斜率k= ．

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14. 一个棱长为 $1$ 的正方体，其八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为．

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15. 若 $Δ A B C$ 的一个顶点是 $A (3 ， - 1)$ ， $∠ B ， ∠ C$ 的角平分线方程分别为 $x = 0 ， y = x$ ，则 $B C$ 边所在的直线方程为

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16. 已知椭圆和双曲线有共同焦点 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 是它们的一个交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1} e_{2}}$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 已知直线 $l$ 经过点 $P (- 2, 5)$ ，且斜率为 $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程．

(2)、求与直线 $l$ 平行，且过点 $(2, 3)$ 的直线方程．

(3)、求与直线 $l$ 垂直，且过点 $(2, 3)$ 的直线方程．

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18. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l : ax + y + 2 a = 0$ ．

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $a$ 的值；

(2)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b ln x$ 在 $x = 1$ 处有极值 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性并求出单调区间.

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20. 如图，已知三棱锥 $A - BPC$ 中， $AP ⊥ PC ，$ ， $AC ⊥ BC$ ， $M$ 为 $AB$ 中点， $D$ 为 $PB$ 中点，且 $△ PMB$ 为正三角形．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A P C$ ；

(2)、若 $B C = 6$ ， $A B = 20$ ，求三棱锥 $D - B C M$ 的体积．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点到左焦点的最短距离为 $\sqrt{6} - 2$ ，长轴长为 $2 \sqrt{6}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点作斜率存在且不等于零的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，问：在 $x$ 轴上是否存在定点 $E$ ，使得 $\vec{E A} \cdot \vec{E B}$ 为定值？若存在，试求出点 $E$ 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

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22. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 是的中点， $ED ⊥ A_{1} C$ 且交 $A C$ 于 $D$ ， $A_{1} A = AB = \frac{\sqrt{2}}{2} BC$ ．

(1)、证明： $B_{1} C_{1} ∥ 平面 A_{1} BC$ ；

(2)、证明： $A_{1} C ⊥ 平面 EDB$ ．

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