上海市浦东区2017-2018学年高三年上学期数学质量调研试卷

试卷更新日期：2018-03-16 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若实数 $x, y \in R$ ，则命题甲“ ${\begin{matrix} x + y > 4 \\ x y > 4 \end{matrix}$ ”是命题乙“ ${\begin{matrix} x > 2 \\ y > 2 \end{matrix}$ ”的（）条件

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、既非充分又非必要

查看试题解析
2. 已知 $Δ A B C$ 中， $∠ A = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = 1$ ，点 $P$ 是 $A B$ 边上的动点，点 $Q$ 是 $A C$ 边上的动点，则 $\overset{⇀}{B Q} \cdot \overset{⇀}{C P}$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、0

查看试题解析
3. 某食品的保鲜时间 $y$ （单位：小时）与储存温度 $x$ （单位：℃）满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $e = 2.718 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数， $k$ 、 $b$ 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时

A、22 B、23 C、24 D、33

查看试题解析
4. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + arcsin (cos x) + a = 0$ 恰有3个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{π^{2}}{2}$ D、 $2 π^{2}$

查看试题解析

二、填空题

5. 集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = {1, 3, 5, 7}$ ，则 $A \cap B =$

查看试题解析
6. 不等式 $\frac{1}{x} < 1$ 的解集为.

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = 2 x - 1$ 的反函数是 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (5) =$

查看试题解析
8. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, - 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3, 4)$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $\overset{⇀}{b}$ 的方向上的投影为

查看试题解析
9. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + \sqrt{3} i) = 1$ ，则 $| z | =$

查看试题解析
10. 在 ${(2 x + 1)}^{5}$ 的二项展开式中， $x^{3}$ 的系数是

查看试题解析
11. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为

查看试题解析
12. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上是增函数，若 $f (a + 1) \leq f (4)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

查看试题解析
13. 已知等比数列 $\frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, \cdot \cdot \cdot$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} > 2018$ 的 $n$ 的最小值为

查看试题解析
14. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则此圆锥的表面积为

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = sin ω x$ （ $ω > 0$ ），将 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2 ω}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，令 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，如果存在实数 $m$ ，使得对任意的实数 $x$ ，都有 $h (m) \leq h (x) \leq h (m + 1)$ 成立，则 $ω$ 的最小值为

查看试题解析
16. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $M$ 、 $N$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的两个动点，动点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O P} = 2 \overset{⇀}{O M} - \overset{⇀}{O N}$ ，直线 $O M$ 与直线 $O N$ 斜率之积为2，已知平面内存在两定点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，使得 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | |$ 为定值，则该定值为

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $A_{1} A = 1$ .

(1)、求异面直线 $B C_{1}$ 与 $C D_{1}$ 所成的角；

(2)、求三棱锥 $B - D_{1} A C$ 的体积.

查看试题解析
18. 在 $Δ A B C$ 中, 角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ , 已知 $\vec{m} = (2, 1)$ ,
$\vec{n} = (c cos C, a cos B + b cos A)$ , 且 $\vec{n} ⊥ \vec{m}$ .

(1)、求 $C$

(2)、若 $c^{2} = 7 b^{2}$ , 且 $S_{Δ A B C} = 2 \sqrt{3}$ , 求 $b$ 的值.

查看试题解析
19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，其前 $n$ 项和 $S_{n} = p n^{2} + 2 n$ （ $n \in N^{*}$ ， $p \in R$ ）.

(1)、求 $p$ 的值及 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在等比数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{2} = a_{1}$ ， $b_{3} = a_{2} + 4$ ，令 $c_{n} = {\begin{matrix} a_{n} & (n = 2 k - 1) \\ b_{n} & (n = 2 k) \end{matrix}$ （ $k \in N^{*}$ ），
求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
20. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，设点 $A (0 ， b)$ ，在 $Δ A F_{1} F_{2}$ 中， $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、设不经过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 相交于 $B$ 、 $C$ 两点，若直线 $A B$ 与 $A C$ 的斜率之和为 $- 1$ ，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标；

(3)、记第（2）问所求的定点为 $E$ ，点 $P$ 为椭圆 $Γ$ 上的一个动点，试根据 $Δ A E P$ 面积 $S$ 的不同取值范围，讨论 $Δ A E P$ 存在的个数，并说明理由.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $f (D)$ ，即 $f (D) = {y | y = f (x) ， x \in D}$ ，若 $f (D) \subseteq D$ ，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上封闭.

(1)、分别判断函数 $f (x) = 2017^{x} + {log}_{2017} x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$ 在 $(0 ， 1)$ 上是否封闭，说明理由；

(2)、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + k$ 的定义域为 $D = [a ， b]$ ，且存在反函数 $y = f^{- 1} (x)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上封闭，且函数 $f^{- 1} (x)$ 在 $f (D)$ 上也封闭，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对任意 $x ， y \in D$ ，若 $x \neq y$ ，有 $f (x) \neq f (y)$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上是单射，已知函数 $f (x)$ 在 $D$ 上封闭且单射，并且满足 $f_{x} (D)$ Ü $D$ ，其中 $f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ （ $n \in N^{*}$ ）， $f_{1} (x) = f (x)$ ，证明：存在 $D$ 的真子集， $D_{n} \cdot \cdot \cdot$ $D_{n - 1}$ Ü
Ü $D_{3}$ Ü $D_{2}$ Ü $D_{1}$ Ü $D$ ，使得 $f (x)$ 在所有 $D_{i}$ （ $i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n$ ）上封闭.

查看试题解析