四川省蓬溪中学校2025-2026学年高一上学期第二次质量检测数学试题

试卷更新日期：2025-11-21 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{x}\}, B = \{y |y = \sqrt{x}\}$ ，那么集合 $A$ 与集合 $B$ 的关系是（）

A、 $A \in B$ B、 $A$ $⫋$ $B$ C、 $A \subseteq B$ D、 $(∁_{R} A)$ $⫋$ $(∁_{R} B)$

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2. 设 $M = x^{2} + y^{2} + 1 ， N = 2 (x + y) - 1$ ，则有（）

A、 $M < N$ B、 $M \leq N$ C、 $M > N$ D、 $M \geq N$

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3. 下列关于 $x ， y$ 的关系中， $y$ 是 $x$ 的函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{1 - x}$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y = \{\begin{array}{l} 0 & (x \geq 1) \\ 1 & (x \leq 1) \end{array}$ D、
$x$
1
2
3
4
$y$
0
0
$- 6$
1

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4. 已知 $x > 0, y > 0$ ，则“ $x \geq 2, y \geq 2$ ”是“ $x y \geq 4$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, 2)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x - 2)}{\sqrt{x - 3}}$ 的定义域为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $[3, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(3, 4)$

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6. 下列函数中，单调增区间和值域都是 $[0, + \infty)$ 的选项是（）

A、 $y = |x - 1|$ B、 $y = \frac{- 1}{x}$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = \sqrt{x^{2}}$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a x - a + 2, x < 1 \\ x^{2} - 2 a x + 3, x \geq 1 \end{matrix}$ ，满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, 1)$ C、 $（ - \infty, 1]$ D、 $[1, + \infty ）$

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8. $\forall x \in R$ ，不等式 $m x^{2} - (2 + m n) x + 2 n \geq 0$ 恒成立，则 $(m + 1) (2 n + 1)$ 的最小值为（）

A、9 B、 $5 + 3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{6}$ D、10

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分的分，有选错的得0分）

9. 已知 $a > b > 0 ， c > 0$ ，则下列式子正确的是（）

A、 $c - b > c - a$ B、 $\frac{1}{\sqrt{a c}} < \frac{1}{\sqrt{b c}}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ D、 $\frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

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10. 下列选项中正确的有（）

A、 $f (n) = \frac{{(\sqrt{n})}^{2}}{n}$ 与 $g (x) = \frac{x}{{(\sqrt{x})}^{2}}$ 表示同一函数 B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的单调减区间为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ C、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 2$ 的交点最多有 $1$ 个 D、函数 $f (x)$ 是一次函数，满足 $f (f (x)) = 9 x + 8$ ，则 $f (x)$ 可能为 $f (x) = - 3 x - 4$

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11. 对于任意的 $x \in R ， [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．十八世纪， $y = [x]$ 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令 $f (x) = x - [x]$ 下列说法正确的是（）

A、 $f (2023.24) = 0.24$ B、当 $1 \leq x < 2$ 时， $f (x) = x - 1$ C、 $f (x + 1) = f (x) + 1$ D、不等式 $4 {[x]}^{2} - 20 [x] + 21 < 0$ 的解集为 ${x ∣ 2 \leq x < 4}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 不等式 $\frac{2 x - 1}{x} \leq 1$ 的解集为．

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13. 已知 $f (x - 2) = x^{2} - 4 x + 3$ ，则 $f (- 1)$ 的值为．

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14. 在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s_甲＝0.1x＋0.01x² ， s_乙＝0.05x＋0.005x² ．这次事故的主要责任方为．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15. 已知二次函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{3}{2}$ 对称， $f (x) < 0$ 的解集为 $\{x |1 < x < m, x \in R\}$ ， $f (3) = 2$ .

(1)、求 $m$ 的值和 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a x, (a \in R)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上具有单调性，求 $a$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} ， g (x) = - x + 2 ， x \in R ． \forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ．

(1)、在给定的坐标系中，画出函数 $m (x)$ 的图象；

(2)、结合图象写出函数 $m (x)$ 的解析式，并求出 $m (m (- 2))$ 的值；

(3)、根据图象写出函数 $m (x)$ 的单调区间及在每一个单调区间上的单调性．

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17. 已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{4 - x^{2}}\}, B = \{x |x > 1\}$ ，

(1)、求集合 $(A \cap B) \cup (∁_{R} A), (∁_{R} B) \cap A$

(2)、设函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1 + a$ 和函数 $g (x) = x^{2}$ ，集合 $C = \{x |g (x) \in B\}$ ，若 $\forall x \in A$ ，都有 $f (x) \in C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. （1）若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 1$ 或 $x >$ $b}$ ，求实数 $a, b$ 的值；
（2）当（1）的情况下， $x > 0, y > 0$ 且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；
（3）当 $a > 0$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 < 0$ 的解集．

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19. 已知 $f (x) = \frac{a x^{2} + b}{x}$ ，其中 $f (x)$ 的图象经过点 $(1, 2)$ 和 $(2, \frac{5}{2})$

(1)、求出 $f (x)$ 的解析式，判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上的单调性，并用定义法证明；

(2)、命题 $p : \forall x \in (0, 1], f (x) + 2 m \geq 0$ 恒成立；命题 $q : \exists x \in R$ ，使得 $x^{2} - 4 x +$ $m^{2} < 0$ ，若 $p$ 与 $q$ 中至少有一个为假命题，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，讨论函数 $g (x) = f (x^{2}) - a \cdot f (x)$ 的最小值（其中 $a \in R$ ）．

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$x$	1	2	3	4
$y$	0	0	$- 6$	1