沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程分层同步练习

试卷更新日期：2026-08-24 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、夯实基础

1. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $(1, 0)$ ， $(3, 0)$ ，则下列判断错误的是（）

A、抛物线的对称轴是直线 $x = 2$ B、当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根分别是1和3 D、当 $y < 0$ 时， $x < 1$

查看试题解析
2. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，那么方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根是（）
x
…
-3
-2
-1
0
…
y
…
0
2
$\frac{8}{3}$
2
…

A、 $x_{1} = x_{2} = - 3$ B、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 3$

查看试题解析
3. 如图，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a⟩ 0)$ 与一次函数 $y_{2} = k x + m (k \neq 0)$ 的图象相交于点A(-1，4)，B(8，3)，则使 y₁>y₂ 成立的x的取值范围是.

查看试题解析
4. 如图，二次函数： $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与一次函数： $y = m x + n (m \neq 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，则当 $a x^{2} + b x + c < m x + n$ 时， $x$ 的取值范围是．

查看试题解析
5. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x + m$ 与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为．

查看试题解析
6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (a - 1) x + a - 2 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若抛物线 $y = x^{2} - (a - 1) x + a - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，且 $A B = 2$ ，求a的值．

查看试题解析
7. 已知一次函数 $y = x + 1$ 的图象与二次函数 $y = x^{2} - b x + c$ 的图象相交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, n)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、结合图象，直接写出当 $x^{2} - b x + c > x + 1$ 时x的取值范围．

查看试题解析

二、能力提升

8. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程 $a x^{2} - 2 a x + c = 0$ 的较大的根的取值范围是（　　）

A、 $0.4 < x < 0.5$ B、 $0.5 < x < 0.6$ C、 $2.4 < x < 2.5$ D、 $2.5 < x < 2.6$

查看试题解析
9. 若二次函数 $y = a {(x + 1)}^{2} + k$ （a，k为常数）与 $y = a {(x - 2)}^{2} + k$ 的图象交于点 $(m, 1)$ ，则关于x 的方程 $a {(x - 2)}^{2} + k = 1$ 的解为．

查看试题解析
10. 已知二次函数 $y = - x^{2} + x + 6$ 及一次函数 $y = - x + m$ ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数 $($ 如图所示 $)$ ，当直线 $y = - x + m$ 与新图象有4个交点时，m的取值范围是

查看试题解析
11. 【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位： $cm/s$ ）、滑行距离y（单位： $cm$ ）的数据：
任务一：数据收集记录的数据如下：
运动时间 $x/s$
0
2
4
6
8
10
．．．
运动速度 $v/cm/s$
10
9
8
7
6
5
．．．
滑行距离 $y/cm$
0
19
36
51
64
75
．．．
任务二：观察分析
（1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．）
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离；
（3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方 $n cm$ 处有一辆电动小车，以 $4 cm/s$ 的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围．

查看试题解析
12. 在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象可得如下结论．
如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴有公共点的横坐标是 $x_{0}$ ，那么当x＝ $x_{0}$ 时，函数值是0，因此 $x = x_{0}$ 是方程 $y = a x^{2} + b x + c$ 的一个根．
同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题

(1)、若二次函数 $y = x^{2} + (m - 3) x + 1 - 2 m$ （m为常数）与x轴两交点的横坐标为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4$ ，求二次函数的解析式；

(2)、不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；

(3)、在（1）的条件下，当 $x = n$ ， $q$ 时，对应的函数值为N，Q，若 $| n - q | = 3$ 求证： $2 （ N ＋ Q ） \geq 5$

查看试题解析

三、拓展创新

13. 四位同学在研究函数 $y = x^{2} + m x + n$ （m，n是常数）时，甲发现函数的最小值为4；乙发现当 $x = 3$ 时； $y = 5$ ；丙发现当 $x = 2$ 时，函数有最小值；丁发现 $- 2$ 是方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是．

查看试题解析
14. 我们约定：当 $x_{1}$ ， $y_{1}$ ， $x_{2}$ ， $y_{2}$ 满足 $(x_{1} + y_{2})^{2} + (x_{2} + y_{1})^{2} = 0$ ，且 $x_{1} + y_{2} \neq 0$ 时，称点 $(x_{1}, y_{1})$ 与点 $(x_{2}, y_{2})$ 为一对“对偶点”。若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”。若关于x的二次函数 $y = 2 a x^{2} - 1$ 是“对偶函数”，则实数a的取值范围为.

查看试题解析
15. 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法.
例题呈现
关于x的方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ 的解是 $x_{1} = 1, x_{2} = - 2$ （a、m、b均为常数，a≠0），则方程 $a {(x + m + 2)}^{2} + b = 0$ 的解是?

(1)、解法探讨
小明的思路如下所示：
小明的思路
第1步把1、-2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步把m的值代入到第1个方程中求出 $- \frac{b}{a};$
第3步用直接开平方法解第2个方程.

(2)、小红仔细观察两个方程，她把第2个方程 $a {(x + m + 2)}^{2} + b = 0$ 中的“x+2”看作第1个方程中的“x”，则“x+2”的值是，从而更简单地解决了问题.

(3)、小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是.

(4)、策略运用
小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答.
已知方程 $(a^{2} - 2 b^{2}) x^{2} + (2 b^{2} - 2 c^{2}) x + 2 c^{2} - a^{2} = 0$ 有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状.

查看试题解析

运动时间 $x/s$	0	2	4	6	8	10	．．．
运动速度 $v/cm/s$	10	9	8	7	6	5	．．．
滑行距离 $y/cm$	0	19	36	51	64	75	．．．

x	…	-3	-2	-1	0	…
y	…	0	2	$\frac{8}{3}$	2	…