备考2018年中考数学一轮基础复习：专题五二次根式

试卷更新日期：2018-03-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 下列哪一个选项中的等式成立（）

A、 $\sqrt{2^{2}}$ =2 B、 $\sqrt{3^{3}}$ =3 C、 $\sqrt{4^{4}}$ =4 D、 $\sqrt{5^{5}}$ =5

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2. 式子 $\frac{\sqrt{a + 1}}{a - 2}$ 有意义，则实数a的取值范围是（）

A、a≥﹣1 B、a≠2 C、a≥﹣1且a≠2 D、a＞2

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3. 下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（）

A、 $\sqrt{a - 1}$ B、 $\sqrt{1 - a}$ C、 $\sqrt{{(1 - a)}^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{1 - a}}$

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4. 如果式子 $\sqrt{2 x + 6}$ 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ $\sqrt{{(a - b)}^{2}}$ 的结果是（）

A、﹣2a+b B、2a﹣b C、﹣b D、b

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6. 若 $\sqrt{2 x - 1}$ + $\sqrt{1 - 2 x}$ +1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（）

A、x≥ $\frac{1}{2}$ B、x≤ $\frac{1}{2}$ C、x= $\frac{1}{2}$ D、x≠ $\frac{1}{2}$

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7. 下列式子为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{a}}$

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8. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{48}$ C、 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ D、 $\sqrt{4 a + 4}$

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9. 与- $\sqrt{5}$ 是同类二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{25}$

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10. 如果下列二次根式中有一个与 $\sqrt{a}$ 是同类二次根式，那么这个根式是（）

A、 $\sqrt{2}$ a B、 $\sqrt{3 a^{2}}$ C、 $\sqrt{a^{3}}$ D、 $\sqrt{a^{4}}$

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11. 下列计算正确的是（）

A、2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ = $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{3}$ ﹣3 $\sqrt{3}$ =1 D、3+2 $\sqrt{2}$ =5 $\sqrt{2}$

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12. 下列各式计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ C、 $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$

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13. 下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 之积为有理数的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ C、 $\sqrt{12}$ D、﹣ $\sqrt{27}$

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14. 下列计算：（1） ${(\sqrt{2})}^{2}$ =2，（2） $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ =2，（3）（﹣2 $\sqrt{3}$ ）²=12，（4）（ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ ）（ $\sqrt{2}$ ﹣ $\sqrt{3}$ ）=﹣1，其中结果正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15. 某校研究性学习小组在学习二次根式 $\sqrt{a^{2}}$ =|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（）

A、在a＞1的条件下化简代数式a+ $\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}$ 的结果为2a﹣1 B、当a+ $\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}$ 的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1 C、a+ $\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}$ 的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为 $\frac{1}{2}$ D、若 $\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}$ =（ $\sqrt{a - 1}$ ）² ，则字母a必须满足a≥1

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二、填空题

16. 若式子 $\frac{1}{\sqrt{1 - 2 x}}$ 有意义，则x的取值范围是．

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17. 计算： $\sqrt{8} + \sqrt{2}$ = ．

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18. 计算2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ﹣ $\sqrt{18}$ 的结果是．

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19. 计算： $\sqrt{27} \times \sqrt{\frac{8}{3}} \div \sqrt{\frac{1}{2}}$ = ．

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20. 若y= $\sqrt{x - \frac{1}{2}}$ + $\sqrt{\frac{1}{2} - x}$ ﹣6，则xy= ．

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21. 分母有理化：

(1)、 $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ =；

(2)、 $\frac{1}{\sqrt{12}}$ =；

(3)、 $\frac{\sqrt{10}}{2 \sqrt{5}}$ = ．

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三、综合题

22. 计算下列各题：

(1)、 $\sqrt{8}$ +|1﹣ $\sqrt{2}$ |﹣π⁰+ ${(\frac{1}{2})}^{- 1}$

(2)、（ $\sqrt{8}$ + $\sqrt{3}$ ）× $\sqrt{6}$ ﹣（4 $\sqrt{2}$ ﹣3 $\sqrt{6}$ ）÷2 $\sqrt{2}$ ．

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23. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p= $\frac{a + b + c}{2}$ ，则三角形的面积S= $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ．

(1)、若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．

(2)、若一个三角形的三边长分别是 $\sqrt{5} 、 \sqrt{6} 、 \sqrt{7}$ ，求这个三角形的面积．

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24. 【知识链接】
有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如： $\sqrt{2}$ 的有理化因式是 $\sqrt{2}$ ；1﹣ $\sqrt{x^{2} + 2}$ 的有理化因式是1+ $\sqrt{x^{2} + 2}$ ．
分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ = $\frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)}$ = $\sqrt{2}$ ﹣1， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ = $\frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}$ = $\sqrt{3}$ ﹣ $\sqrt{2}$ ．

(1)、【知识理解】
填空：2 $\sqrt{x}$ 的有理化因式是；
直接写出下列各式分母有理化的结果：
① $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ =；② $\frac{1}{3 \sqrt{2} + \sqrt{17}}$ = ．

(2)、【启发运用】
计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ ．

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25. 阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\sqrt{2}$ =（1+ $\sqrt{2}$ ）² ，我们来进行以下的探索：
设a+b $\sqrt{2}$ =（m+n $\sqrt{2}$ ）²（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b $\sqrt{2}$ =m²+2n²+2mn $\sqrt{2}$ ，∴a=m+2n² ， b=2mn
，这样就得出了把类似a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：

(1)、当a，b，m，n都为正整数时，若a﹣b $\sqrt{5}$ =（m﹣n $\sqrt{5}$ ）² ，用含m，n的式子分别表示a，b，得a= ， b=；

(2)、利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空：﹣ $\sqrt{5}$ =（﹣ $\sqrt{5}$ ）²

(3)、a﹣4 $\sqrt{5}$ =（m﹣n $\sqrt{5}$ ）²且a，m，n都为正整数，求a的值．

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备考2018年中考数学一轮基础复习：专题五 二次根式

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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