广东省广州市花都区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-12-13 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， λ ， μ - 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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2. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$ 的圆心和半径长分别为（　　）

A、 $(4, - 6)$ ， 16 B、 $(2, - 3)$ ， 4 C、 $(- 2, 3)$ ， 4 D、 $(2, - 3)$ ， 16

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4. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的长半轴长等于其焦距，则 $a =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4$

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5. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，且 $A A_{1} = 1$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{15}$

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6. （2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A₁ ， A₂ ，且以线段A₁A₂为直径的圆与直线 $b x - a y + 2 a b = 0$ 相切，则C的离心率为

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $\frac{|P O|}{|P A|} = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是 $A C$ 中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，若直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的取值范围是（）．

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{3}]$

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二、多选题：本题共7小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9. 已知圆 $C : x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ ，则（）

A、点 $(1, - 2)$ 在圆 $C$ 的内部 B、圆 $C$ 的直径为2 C、过点 $(2, - 3)$ 的切线方程为 $x = 2$ D、直线 $y = x$ 与圆 $C$ 相离

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10. 已知 $M$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）

A、椭圆的焦距为2 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是4

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11. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ，点 $E$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{A A_{1}}$ B、 $A B_{1} / /$ 平面 $A_{1} C E$ C、异面直线 $A E$ 与 $A_{1} C$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ D、点 $A_{1}$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距为2，则 $m =$ ．

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13. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 的公共弦长为．

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14. 如图，正四面体 $A - B C D$ 的长为1， $\vec{C E} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A B} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知空间中三点 $A (1, 2, - 3), B (1, a, - 4), C (- 1, 2, - 1)$ ．

(1)、若 $\vec{A B} ⊥ (\vec{A B} + 5 \vec{A C})$ ，求a的值；

(2)、若 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，求a的值.

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16. 已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ 和圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求弦 $A B$ 的长；

(2)、求过点 $(4, - 1)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程．

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17. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4 \sqrt{3}$ ， $P (2, \sqrt{2})$ 是 $E$ 上一点.

(1)、求E的方程；

(2)、若 $A, B$ 是 $E$ 上两点，且线段 $A B$ 的中点坐标为 $(- \frac{8}{5}, \frac{2}{5})$ ，求 $|A B|$ 的值.

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18. 如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， $C B / / D A, E A ⊥ A B,$ M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点.

(1)、若M 为CE的中点， $A F = 3 F D .$
(i) 求证： $F N / /$ 平面 $M B D$ ；
(ii) 求点F 到平面MBD的距离.

(2)、若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 $\frac{1}{3},$ 试确定点M在EC上的位置.

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19. 如图，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (3, 1)$ ，焦距为 $4 \sqrt{2}$ ；斜率为 $- \frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于异于点 $P$ 的 $M$ ， $N$ 两点，且直线PM，PN均不与 $x$ 轴垂直.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $|M N| = \sqrt{10}$ ，求MN的方程；

(3)、记直线PM的斜率为 $k_{1}$ ，直线PN的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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