广东省广州市培英中学2025-2026学年高二港澳班上学期期中质量检测数学试题

试卷更新日期：2025-11-20 类型：期中考试

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一、单选题（本题共有10小题，每小题6分，共60分.每题中只有一个选项符合题意）

1. 已知空间单位向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两垂直，则 $|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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2. 若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 若点 $A (1, 1)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - m x - 2 y + 5 = 0$ 外，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 5)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (4, 5)$

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4. 若双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{10 - 2 t} - \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，其焦点在 $x$ 轴上，焦距为4，则实数 $t$ 等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 若点 $(a, b)$ 在圆 $M : x^{2} + y^{2} = 2$ 外，则直线 $a x + b y = 2$ 与圆 $M$ 的位置关系是（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相离

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6. 线段 $A B$ 的长度为 $3$ ，其两个端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动，则线段 $A B$ 上靠近点 $A$ 的三等分点的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{9 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{13 \sqrt{5}}{5}$

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8. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = x + b$ ，若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ 的距离等于1，则 $b$ 的值为（）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm 2$

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9. 若直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 有公共点，则b的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $[- 1, \sqrt{2}]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $(- 1, \sqrt{2})$

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10. 已知点 $F (1, 0)$ ，直线 $l : x = 4$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的一半.若某直线上存在这样的点 $P$ ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、点 $P$ 的轨迹与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 没有公共点 C、平面上有一点 $A (- 1, 1)$ ，则 $|P A| + 2 |P F|$ 的最小值为5 D、直线 $l_{1} : x + 2 y - 4 = 0$ 是“最远距离直线”

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二、填空题（本题共有5小题，每小题6分，共30分.每题中只有一个选项符合题意）

11. 已知点 $P$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 12 = 0$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $4 x - 3 y - 2 = 0$ 距离的最小值是.

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12. 圆 $O_{1} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 28$ 与 $O_{2} : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 18$ 的公共弦长为.

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 顶点 $A (- 3, 0)$ 和 $C (3, 0)$ ，顶点 $B$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上，则 $\frac{\sin A + \sin C}{2 \sin B} =$ ．

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14. 椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为椭圆 $M$ 上任一点，且 $\frac{1}{| P F_{1} |} + \frac{1}{| P F_{2} |}$ 最小值为 $\frac{1}{2}$ ，则椭圆 $M$ 的离心率是.

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的弦 $A B$ 的中点M的坐标为 $(2, 1)$ ，则 $A B$ 的方程为.

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三、解答题(本题共有4道大题，每小题15分，共60分.)

16. 在平面直角坐标系中，已知三点 $A (- 3, 4), B (3, 2), C (1, 0)$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $C (1, 0)$ 且与直线BC垂直，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距是 $y$ 轴上截距的 $2$ 倍，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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17. 已知关于x，y的方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + m = 0$ .

(1)、若该方程表示圆C，求m的取值范围；

(2)、若圆C与圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 36 = 0$ 外切，求m的值；

(3)、若（2）中的圆C与经过点 $P (\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ 的直线l相交于M，N两点，且 $|M N| = \frac{\sqrt{15}}{2}$ ，求直线l的方程．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．

(1)、求直线AD与平面ACM夹角的余弦值；

(2)、求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值；

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, N (2, 0)$ 是椭圆的右顶点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $H (0, 1)$ 且倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A ､ B$ 两点，求 $|A B|$ 和 $△ A B N$ 的面积.

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