第一章《因式分解》（B卷）—湘教版数学八年级上册单元测试

试卷更新日期：2026-08-20 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）

A、 $(2 x + 1) (2 x - 1) = 4 x^{2} - 1$ B、 $x^{2} + 2 x - 3 = x (x + 2) - 3$ C、 $a b - a - b + 1 = (a - 1) (b - 1)$ D、 $m^{2} - 2 m - 3 = m (m - 2 - \frac{3}{m})$

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2. 多项式ma²-mb²的公因式是（）

A、m B、m² C、ma D、mb

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3. 多项式8m²n+2mn中各项的公因式是（）

A、2mn B、mn C、2 D、8m²n

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4. 多项式 $(x^{2} - 2 x + 1)$ 与多项式 $(x - 1) (x + 1)$ 的公因式是(　　)

A、 $x - 1$ B、 $x + 1$ C、 $x^{2} + 1$ D、 $x^{2}$

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5. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（）

A、甲对乙错 B、甲错乙对 C、甲和乙都对 D、甲和乙都错

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6. 与 $395^{2} + 2 \times 395 \times 5 + 5^{2}$ 相等的是（）

A、 ${(395 - 5)}^{2}$ B、 $(395 + 5) (395 - 5)$ C、 ${(395 + 5)}^{2}$ D、 ${(395 + 10)}^{2}$

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7. 把 $2 a^{2} - 4 a + 2$ 因式分解，结果正确的是( )

A、 $2 a (a - 2) + 2$ B、 $2 (a^{2} - 2 a + 1)$ C、 ${(2 a - 2)}^{2}$ D、 $2 {(a - 1)}^{2}$

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8. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 5 x + 6 = x (x - 5) + 6$ B、 $x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} - 5 (x - 1)$ C、 $x (x - 1) = x^{2} - x$ D、 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

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9. 若 $A (m^{2} - 3 n) = m^{3} - 3 m n ，$ ，则代数式 A的值为（）

A、m B、mn C、mn² D、m²n

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10. 如果 $x - 2$ 是 $a x^{2} - b x + 2$ 的一个因式，则 $2 a - b$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 若二次三项式 $x^{2} - m x - 12$ 可分解为 $(x - 3) (x + n)$ ，则 $m n$ 的值为．

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12. 分解因式： $2 a^{2} - 4 a + 2 =$ ．

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13. 因式分解： $3 a^{2} b^{2} - 12 b^{4} =$ ．

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14. 已知 $a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ ，则 $a^{2} - b^{2}$ 的值是.

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15. 因式分解 $x^{2} + 2 x$ 的结果是．

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16. 若 $x^{2} + x - 3 = 0$ ，则代数式 $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 2 =$ ．

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17. 已知 $x^{2} - 2 x + 1 + |x - y + 3| = 0$ ，则 $x =$ ， $y =$ ．

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18. 已知x= $\sqrt{2}$ +1，则代数式x²﹣2x+1的值为.

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三、解答题（共8题，共66分）

19. 分解因式：

(1)、 $2 a b - a^{2} - b^{2}$ ；

(2)、 $2 a^{4} - 32 b^{4}$ ．

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20. 计算

(1)、 $- \frac{4 m^{2}}{3 n^{2}} \cdot \frac{n}{2 m}$ ；

(2)、 $\frac{x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}}{x^{2} - 9 y^{2}} \div \frac{2 x - 6 y}{x^{2} + 3 x y}$

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21. 阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．

(1)、利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a²x+a²y+b²x+b²y ．

(2)、因式分解：a²+2ab+b²﹣1＝（直接写出结果）．

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22. 观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：

(1)、因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm

(2)、△ABC三边a，b，c满足a²﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．

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23. 阅读与思考

配方法

把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.

例如：

①用配方法因式分解：a²+6a+8

原式=a²+6a+9-1=(a+3)²-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2)

②求2x²+12x+22的最小值.

解：2x²+12x+22=2(x²+6x+11)先求出x²+6x+11的最小值

x²+6x+11=x²+6x+9+2=(x+3)²+2；

由于(x+3)²是非负数，所以(x+3)²≥0，可得到(x+3)²+2≥2，即x²+6x+11的最小值为2.

进而2x²+12x+22的最小值为4.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)、在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a²+4a+

(2)、用配方法因式分解：a²+12a+35；

(3)、求2x²-4x+10的最小值.

(4)、已知实数x，y满足-x²+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.

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24. 若一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2} (a ， b$ 是正整数) 的形式，则称这个数为 “丰利数”．例．如： 2 是 “丰利数”，因为 $2 = 1^{2} + 1^{2}$ ；再．如， $M =$ $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = (x + y)^{2} + y^{2} (x + y ， y$ 是正整数)，所以 $M$ 也是 “丰利数”．

(1)、请写一个最小的三位 “丰利数”是，并判断 20 “丰利数” (填“是”或“不是”)；

(2)、已知 $S = x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + k (x ， y$ 是整数， $k$ 是常数)，要使 $S$ 为 “丰利数”，试求出符合条件的一个 $k$ 值 $(10 ⩽ k < 200)$ ，并说明理由．

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25. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：

$x^{2} + (p + q) x + p q$ 型式子的因式分解

$x^{2} + (p + q) x + p q$ 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢?

在第102页的练习第2题中，我们发现， $(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + p q$ .这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：

$(x + p) (x + q)$ $= x^{2} + p x + q x + p q$ $= x^{2} + (p + q) x + p q$

因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得

$x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ①

利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子 $x^{2} + 3 x + 2$ 分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项 $2 = 1 \times 2$ ，一次项系数 $3 = 1 + 2$ ，因此这是一个 $x^{2} + (p + q) x + p q$ 型的式子.利用①式可得 $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ .

上述分解因式 $x^{2} + 3 x + 2$ 的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）.

这样，我们也可以得到 $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ .

利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：

(1)、分解因式：

y^{2} + 7 y - 18 =

；

(2)、【知识应用】

x^{2} + m x + 3 = (x + n) (x - 3)

，则

m =

，

n =

；

(3)、【拓展提升】如果

x^{2} + m x + 6 = (x + p) (x + q)

，其中m，p，q均为整数，求m的值.

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26. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形

(1)、根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式.

(2)、若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+4b）的矩形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张。

(3)、根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5，m²+n²=20，求mn和（m-n）²的值.
②已知（x-2023）²+（x-2025）²=34，求x-2024.

(4)、如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽。

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