广东省汕头市潮阳区河溪中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-12-04 类型：期中考试

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一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合 $M = {x | x^{2} > 4}$ ， $N = {x | 1 < x \leq 3}$ ，则 $N \cap (∁_{R} M) =$ （）．

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$

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2. 设i为虚数单位，则复数 $\frac{1 - i}{2 + i} =$ （）．

A、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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3. 已知 $\vec{a} = (1, 2, 0), \vec{b} = (- 2, 0, 1)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 3 \vec{b}$ 平行，则 $k =$ （）．

A、2 B、1 C、6 D、3

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4. 已知直线 $l_{1} ： x + y + m = 0$ ， $l_{2} ： x + m^{2} y = 0$ .则“ $l_{1} / / l_{2}$ ”是“ $m = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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6. 已知 $A, B, C$ 三点不共线，对平面 $A B C$ 外的任一点O，下列条件中能确定点 $M, A, B, C$ 共面的是（）

A、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ B、 $\vec{O M} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} - \vec{O C}$ C、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ D、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$

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7. 有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数 $(x, y)$ 表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形.如图，在△ABC中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算 $\cos ∠ M P N$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{15}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{15}$

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8. 某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C三支球队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A队战胜B队的概率为 $\frac{3}{10}$ ， B队战胜C队的概率为 $\frac{1}{2}$ ， C队战胜A队的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则A队进入决赛的概率为（）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{7}{60}$ C、 $\frac{59}{300}$ D、 $\frac{71}{600}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $A (1, - 2)$ ， $B (2, 1)$ ，若直线 $l$ 恒过点 $(0, - 1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率取值可能是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $2$

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10. 以下四个命题中正确的是（）

A、空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间向量的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 构成空间向量的另一组基底 C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 2 \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 D、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，即它们所在的直线共面

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11. 下列命题中错误的是（）．

A、 $y = | \cos (2 x + \frac{π}{6}) |$ 最小正周期为 $π$ ； B、函数 $y = \tan \frac{x}{2}$ 的图象的对称中心是 $(k π, 0), k \in Z$ ； C、 $f (x) = \tan x - \sin x$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有3个零点； D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知直线 $3 x + 2 y - 3 = 0$ 和 $6 x + m y + 2 = 0$ 互相平行，则它们之间的距离是.

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13. 直线l 经过点 $(- 1, 0)$ ，倾斜角为150°，若将直线l绕点 $(- 1, 0)$ 逆时针旋转60°后，得到直线 $l^{'}$ ，则直线 $l^{'}$ 的斜率为 .

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14. 设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3 x - 1, x < 1 \\ 2^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ ，则满足 $f (f (a)) = 2^{f (a)}$ 的实数 $a$ 取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B / / D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点E为棱 $P C$ 的中点．证明：

(1)、 $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ．

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(sin A + sin B + sin C) (c - a + b) = 3 c sin B$ ．

(1)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径；

(2)、若 $b = 3, c = 2, \vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求线段 $A D$ 的长．

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17. 我校对 $2021$ 年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取 $100$ 名学生，将分数按照 $[30, 50)$ ， $[50, 70)$ ， $[70, 90)$ ， $[90, 110)$ ， $[110, 130)$ ， $[130, 150]$ 分成 $6$ 组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)、估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 $5$ 名学生，再从这 $5$ 名学生中随机抽取 $2$ 名学生进行问卷调查，求抽取的这 $2$ 名学生至少有 $1$ 人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $A B / /$ $C D, A D ⊥ C D, B C = B P$ ， $C D = 2 A B = 4, △ A D P$ 是等边三角形， $E$ 为 $D P$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P A = 4 \sqrt{2}$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $P A D$ 夹角的正弦值.

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19. 已知直线 $l_{1} : x - 2 y + 3 = 0, l_{2} : 2 x + 3 y - 8 = 0$ .

(1)、求经过点 $M (1, 4)$ 且与直线 $l_{2}$ 垂直的直线方程；

(2)、求经过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.

(3)、若直线 $l : k x - y + 2 + 4 k = 0 (k \in R)$ 交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设 $△ A O B$ 的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.

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