广东省东莞市三校（莞美、大岭山、众美）联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-30 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，共40分．

1. 已知直线 $l$ 的倾斜角为 $60 °$ ，方向向量 $\vec{a} = (3, y)$ ．则 $y =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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2. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x + (a + 2) y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + a y + 2 = 0$ ，则“ $a = - 1$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在四面体 $A B C D$ 中，点M在线段 $D A$ 上，且 $D M = 2 M A$ ， N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{D A} - \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} - \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$

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4. 已知点 $A (2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，若过点 $(1, 1)$ 的直线与线段 $A B$ 相交，则该直线斜率的取值范围是（　　）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, 4]$ D、 $[- 4, \frac{3}{4}]$

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5. 在空间直角坐标系中，若 $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 0, 1)$ ， $D (2, 0, z) (z \in R)$ 四点共面，则 $z =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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6. 已知空间向量 $\vec{a} = (3, - 1, 1), \vec{b} = (m, 2, - 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 6) \cup (- 6, \frac{4}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{4}{3})$ C、 $(\frac{4}{3}, 6) \cup (6, + \infty)$ D、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$

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7. 已知直线 $l_{1} : y = k x - 2 k + 1$ 与直线 $l_{2}$ 关于点 $(1, 0)$ 对称，则 $l_{2}$ 恒过的定点为（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(0, - 1)$ D、 $(- 1, - 1)$

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， E为AB的中点，则异面直线 $B_{1} C_{1}$ 与DE的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、1 D、 $\frac{6 \sqrt{19}}{19}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分．部分答对得部分分，有答错的不得分．

9. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 4 = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，下列说法正确的为（）

A、两圆外切 B、两圆有两条公切线 C、直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ D、线段 $A B$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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10. 已知空间中三个向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, - 2, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是共线向量 B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量是 $(- 1, - 2, 0)$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90 °$

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11. 如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - A A_{1} D$ 的体积为定值 $\frac{4}{3}$ B、当 $P$ 在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、若 $F$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P F$ 长度的最小值是 $\sqrt{5}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，共15分．

12. 已知圆 $P$ 过 $(- 1, 1), (7, - 3), (5, - 7)$ 三点，则圆 $P$ 的面积为．

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13. 已知直线 $l : y = k x$ 被圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为2，则 $|k|$ 的值为.

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14. 棱长为4的正方体 $A C_{1}$ 中， $M, N$ 分别是平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和平面 $A C D_{1}$ 内动点， $\vec{B P} = 3 \vec{P B_{1}}$ ，则 $P M + M N$ 的最小值为．

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四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15. 已知直线 $l$ 过点 $(3, - 5)$ ．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $l^{'} : 2 x - 7 y - 1 = 0$ 垂直，求 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 y - 8 = 0$ 相切，求 $l$ 的方程．

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16. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $A_{1} A = 2$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， M为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、用空间的一个基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{A_{1} C}$ ；

(2)、求 $|\vec{D M}|$ ， $|\vec{A_{1} C}|$ ，异面直线DM与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值.

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17. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是棱 $B C$ 、 $C D$ 、 $A_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A G ∥$ 平面 $C_{1} E F$ ；

(2)、求直线 $A G$ 到平面 $C_{1} E F$ 的距离．

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18. 已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} :$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $Α$ ， $Β$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $Α Β$ 的中点 $Μ$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L:$ $y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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19. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E ∥ B C$ 且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求 $C M$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的大小；

(3)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $N$ ，使平面 $C B M$ 与平面 $B M N$ 成角余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ？若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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