广东省深圳外国语2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-12-05 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若直线 $a x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $3$ D、 $- 3$

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2. 向量 $\vec{a} = (1, - 2, - 2)$ ，则下列向量中与 $\vec{a}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ 的是（）

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(1, - 1, 0)$ C、 $(- 1, 0, 1)$ D、 $(0, - 1, - 1)$

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3. 若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 构成空间一组基底，那么能与 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ 构成空间一组基底的向量可以是（）

A、 $\vec{a} - \vec{c}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{b} + 2 \vec{c} - \vec{a}$ D、 $2 \vec{a} + \vec{b} - 3 \vec{c}$

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4. 位于某海域的甲船发现，在其北偏东 $60^{°}$ 方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东 $15^{°}$ 方向行驶 $\sqrt{2}$ 海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（）

A、 $1$ 海里 B、 $2$ 海里 C、 $\sqrt{6}$ 海里 D、 $2 \sqrt{2}$ 海里

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5. 空间中有5个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，若不共线的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在平面 $α$ 内， $E \notin α$ ，且满足 $(1 - λ) \vec{E A} = \frac{1}{2} \vec{E B} + \frac{1}{3} \vec{E C} + λ \vec{A D}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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6. 已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ ，直线 $l : 3 x + 4 y - m = 0 (m \in R)$ ，若圆C上有四个点到直线l的距离为2，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(10, 40)$ B、 $[10, 40]$ C、 $(15, 35)$ D、 $[15, 35]$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c = 2$ ， $2 \sin B = (\sqrt{2} - \cos C) b$ ， ${(b - 1)}^{2} = a^{2} - 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ ，交右支于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $|A B| = |B F_{1}|$ ， $\cos ∠ F_{1} B F_{2} = \frac{23}{32}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B - {sin}^{2} C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $A = 60^{°}, a = \sqrt{15}, b = 4$ ，则满足条件的三角形有两个 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $sin A > cos B$

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10. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线的光学性质是：从右焦点 $F_{2}$ 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 $F_{1}$ ，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若 $| P F_{2} |$ 的最小值为2，且双曲线C的渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则下列结论正确的有（）

A、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、若 $m ⊥ n$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为24 C、若点 $P$ 处的切线交 $x$ 轴于 $T (1, 0)$ ，则 $P F_{2} ⊥ x$ 轴 D、当n过点 $M (11, 8)$ 时，光由 $F_{2} \to P \to M$ 所经过的路程为13

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $P, Q$ 分别是棱 $C C_{1}$ ，棱 $B C$ 的中点，动点 $M$ 满足 $\vec{D M} = λ \vec{D A} + μ \vec{D D_{1}}$ ，其中 $λ, μ \in [0, 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ = μ$ ，则三棱锥 $B_{1} - C D_{1} M$ 的体积为定值 B、若 $λ + μ = 1$ ，则 $C M ⊥ D B_{1}$ C、若 $B_{1} M //$ 平面 $D P Q$ ，则直线 $B_{1} M$ 与直线 $A B$ 所成角可能为 $30^{\circ}$ D、三棱锥 $M - C P Q$ 外接球的表面积最小值为 $\frac{81 π}{16}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 方程 $\frac{x^{2}}{9 - k^{2}} + \frac{y^{2}}{7 + k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是.

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13. 已知 $P$ 是直线 $l : x - y + 3 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则四边形 $P A C B$ 面积的最小值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\cos 2 A + 2 \cos 2 B - \cos 2 C = 2$ ，则 $\tan B$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} (c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 4 S$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，且 $B D = C D = 2$ ，求 $S$ .

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16. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ ， $C (3, 1)$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线方程为 $2 x - y - 3 = 0$ ，圆 $E$ 为 $△ A B C$ 外接圆.

(1)、求 $a, b$ 以及圆 $E$ 的标准方程；

(2)、求过点 $P (5, - 4)$ ，且与圆 $E$ 相切的直线方程．

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17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $P B$ ， $P C$ 上的动点（端点除外），且直线 $E F ⊥$ 平面 $P A B$ .

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $\vec{P E} = 2 \vec{E B}$ ，且平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A (0, 1)$ 为椭圆的上顶点，

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上的两点，满足直线 $A P ⊥ A Q$ ，
（i）求证：直线 $P Q$ 过定点；
（ii）若 $△ A P Q$ 面积为 $\frac{32}{15}$ ，求直线 $P Q$ 的方程.

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19. 如图1，在平面五边形 $A B C D E$ 中， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $△ A D E$ 是正三角形， $F$ 为 $A B$ 中点，将 $△ A D E$ 沿 $A D$ 翻折到 $△ A D P$ ，形成四棱锥 $P - A B C D$ ，如图2所示．

(1)、求证： $A D ⊥ P F$ ；

(2)、当 $P A = P B$ 时，求直线 $P F$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值；

(3)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值的最小值．

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