广东省东莞高级中学等五校2025-2026学年高二上学期联考数学试题

试卷更新日期：2025-12-23 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 数列 $- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5} \dots \dots$ 的一个通项公式为（）

A、 $\frac{1}{n}$ B、 $- \frac{1}{n}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{n}$

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2. 若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{11} = 4$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图，已知平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C^{'}} =$ （）

A、 $\vec{A^{'} C}$ B、 $\vec{B D}$ C、 $\vec{A C^{'}}$ D、 $\vec{B^{'} D}$

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4. 设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, x, y)$ ， $\vec{b} = (2, - 4, 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $2 x - y =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- 5$ C、 $- 3$ D、1

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5. 中心在原点，顶点在 $x$ 轴上，且一个焦点在直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 上的等轴双曲线的方程是（）

A、 $y^{2} - x^{2} = 4$ B、 $x^{2} - y^{2} = 4$ C、 $y^{2} - x^{2} = 8$ D、 $x^{2} - y^{2} = 8$

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6. 若两定点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\sqrt{2} |P A| = |P B|$ ，则动点 $P$ 的轨迹围成区域的面积为（）

A、 $2π$ B、 $4 π$ C、 $4 \sqrt{2} π$ D、 $8 π$

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为4，若直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 2)$ 与椭圆交于点M，满足 $∠ M F_{1} F_{2} = 2 ∠ M F_{2} F_{1}$ ，则离心率是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90^{°}, 180^{°}, 270^{°}$ 后所得的三条曲线及抛物线 $C$ 围成的，则下列说法错误的是（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、四叶图上的点到点 $O$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、四叶图的面积小于6 D、动直线 $x + y = t$ 被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法中，正确的有（）

A、已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y - a = 0$ ， $l_{1}$ 始终过定点 $(0, 1)$ B、直线 $y = k x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距是2 C、直线 $y = \sqrt{3} x + 1$ 的倾斜角为 $30 °$ D、过点 $(5, 4)$ 并且倾斜角为 $90 °$ 的直线方程 $x - 5 = 0$

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10. 已知平面 $α$ 与平面 $β$ 的法向量分别是 $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a}$ ，则下列命题正确的是（　　）

A、若 $\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $\vec{n_{2}} / / \vec{a}$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $\vec{n_{1}} \cdot \vec{a} = 0$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $\vec{n_{2}} \cdot \vec{a} = 0$ ，则 $l / / β$

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11. 已知曲线 $C$ ： $m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，则下列命题中，正确的是（）

A、若 $m = n > 0$ ，则曲线 $C$ 表示圆，且半径为 $\sqrt{\frac{1}{m}}$ B、若 $m n < 0$ ，则曲线 $C$ 表示双曲线，且渐近线为 $y = \pm \sqrt{- \frac{n}{m}} x$ C、若 $m = 0$ ， $n > 0$ ，则曲线 $C$ 表示两条直线 D、若 $0 < m < n$ ，则曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 两平行直线 $3 x + 4 y - 1 = 0$ 和 $6 x + 8 y - 11 = 0$ 的距离为．

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13. 已知点 $A (1, 2)$ 在抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 上，则点A到抛物线C的准线的距离为．

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14. 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{i, j}$ （其中 $i, j \in N_{+}$ ），则 $a_{7, 7} =$ ，数字 $2026$ 在表中总计出现次．
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$\dots$
$3$
$5$
$7$
$9$
$11$
$13$
$\dots$
$4$
$7$
$10$
$13$
$16$
$19$
$\dots$
$5$
$9$
13
$17$
$21$
$25$
$\dots$
$6$
$11$
$16$
$21$
$26$
$31$
$\dots$
$7$
$13$
$19$
$25$
$31$
$37$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + 1$ ．

(1)、试写出数列 $\{a_{n}\}$ 的前3项，并判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ．

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16. 已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，且经过 $A (- 1, 1)$ 和 $B (1, 3)$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为6，求直线 $l$ 的方程.

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17. 记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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18. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点.
（1）求证： $A C_{1} / /$ 平面 $B D E$ ；
（2）求证： $A_{1} E ⊥$ 平面 $B D E$ ；
（3）若 $F$ 为 $B B_{1}$ 上的动点，使直线 $A_{1} F$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $D F$ 的长.

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(2 > b^{2} > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、如图，直线 $G H$ 为椭圆 $C$ 与抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的公切线，其中点 $G, H$ 分别在椭圆 $C$ 与抛物线 $C_{1}$ 上，线段 $O H$ 交 $C$ 于点 $N$ ，求 $△ N G H$ 的面积的最小值．

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$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$\dots$
$3$	$5$	$7$	$9$	$11$	$13$	$\dots$
$4$	$7$	$10$	$13$	$16$	$19$	$\dots$
$5$	$9$	13	$17$	$21$	$25$	$\dots$
$6$	$11$	$16$	$21$	$26$	$31$	$\dots$
$7$	$13$	$19$	$25$	$31$	$37$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$