广东省惠州市第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

试卷更新日期：2025-12-02 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 直线 $l : 3 x - y + 4 = 0$ 的一个方向向量为（）

A、 $(3, - 1)$ B、 $(3, 1)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(1, \frac{1}{3})$

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2. 若双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、8 D、16

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3. 已知点 $A (- 1, 0, 1), B (a, a + 1, a - 1),$ 若平面 $A B C$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, - 1, 2),$ 则 $|\vec{A B}| =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{33}$

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4. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽 $A B$ 为 $2 m$ ，渠深 $O C$ 为 $1.5 m$ ，水面 $E F$ 距 $A B$ 为 $0.5 m$ ，则截面图中水面宽 $E F$ 的长度约为（）（ $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

A、0.816m B、1.33m C、1.50m D、1.63m

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5. 在棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中， $M$ 为棱 $B C$ 的中点， $N$ 为棱 $A D$ 上一点且 $A N = \frac{1}{2} N D$ ，则直线 $A M$ 和直线 $C N$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{6}$

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6. 已知点 $P$ 是直线 $l_{1} : m x - y - 5 m + 1 = 0$ 和 $l_{2} : x + m y - 5 m - 1 = 0$ 的交点，点 $Q$ 是圆 $C : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最大值是（）

A、 $8 + 2 \sqrt{2}$ B、 $7 + 2 \sqrt{3}$ C、 $6 + 2 \sqrt{3}$ D、 $6 + 2 \sqrt{2}$

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7. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $B$ ，若 $|B F_{2}| = 5 |B F_{1}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过原点的直线l交曲线 $y = \frac{1}{x}$ 于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为 $60 °$ 的二面角，则线段 $A B$ 长度的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.

9. 已知圆C方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + λ = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $λ$ 的取值范围为 $(- \infty, 5]$ B、若已知 $P (1, 0)$ 在圆内，则 $λ < - 3$ C、圆C关于直线 $x + y - 1 = 0$ 对称 D、圆C与圆D： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 5 = 0$ 恰有三条公切线，则 $λ = - 3$

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10. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一点（包括边界），则以下说法正确的是（）

A、若点F为下底面 $A B C D$ 内一点（包括边界），则 $E F$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $A E = \sqrt{5}$ ，则 $C_{1} E$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ C、当点E在棱 $B_{1} C_{1}$ 上，且 $B_{1} E = \frac{2}{3} B_{1} C_{1}$ 时，平面 $B D$ E截该正方体的外接球所得截面的面积为 $\frac{31}{11} π$ D、若点E到直线 $B B_{1}$ 的距离是它到直线 $C_{1} D_{1}$ 距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分

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11. 曲线 $Γ : y^{2} - 2 y = x^{3} + m x - 3$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $Γ$ 关于原点对称 B、曲线 $Γ$ 关于直线 $y = 1$ 对称 C、当 $m = 0$ 时，曲线 $Γ$ 上点的横坐标的取值范围为 $[\sqrt[3]{2}, + \infty)$ D、若曲线 $Γ$ 在第一象限内存在位于直线 $x = 1$ 左侧的点，则 $m > 1$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计，15分.

12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{k} = 1$ 的焦距为6，则k的值为.

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13. 已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y - 6 = 0$ 和直线 $l_{2} : y = - 1,$ 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是.

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14. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，四面体 $S A B C$ 各顶点坐标分别为 $S (6, 4, 4), A (4, 4, 1), B (6, 6, 4), C (4, 6, 4)$ ，则该四面体外接球的表面积是.

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四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知圆 $C$ 过点 $A (- 5 ， - 1)$ 和 $B (2 ， 0)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过点 $(3 ， 4)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $l$ 的方程.

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2, 3)$ ，点A为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2} .$

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、在椭圆 $C$ 上取一点N，且满足 $△ A M N$ 的面积为12，求点 $N$ 的坐标.

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17. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A B$ $∥$ $CD$ ，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且 $B C = 1, P C = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P A$ ；

(2)、设 $△ P C D$ 的重心为 $G$ ，求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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18. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x + b$ 与坐标轴交于 $A, B, E$ 三点，圆 $C$ 过 $A, B, E$ 三点.

(1)、求b的取值范围：

(2)、当 $b = 1$ 时，求圆C的方程；

(3)、在（2）条件下，已知圆 $D : {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4,$ 设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，它们分别与圆C和圆D相交，且直线 $l_{1}$ 被圆C截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆D截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标.

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19. 已知点 $A$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $x$ 轴负半轴的交点， $P$ 为圆 $O$ 上任意一点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，反向延长 $P H$ 至点 $M$ ，使得 $\vec{H M} = \sqrt{2} \vec{H P} .$

(1)、令点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，求曲线 $C$ 的方程：

(2)、连接 $A M$ 交圆 $O$ 于点另外点 $B$ ，若 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ A O M}} = \frac{3}{4},$ 求直线 $A M$ 的方程；

(3)、已知点 $Q (2, 0),$ 直线 $M Q$ 交曲线 $C$ 于另外一点 $N$ ，记直线 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A N$ 的斜率为 $k_{2},$ 求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值.

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