难点十二推理与新定义问题

试卷更新日期：2018-03-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 欧拉公式e^ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e²ⁱ表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若数列{a_n}满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{p}{a_{n}}$ =0，n∈N^* ， p为非零常数，则称数列{a_n}为“梦想数列”．已知正项数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 为“梦想数列”，且b₁b₂b₃…b₉₉=2⁹⁹ ，则b₈+b₉₂的最小值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 三角形的面积为 $S = \frac{1}{2} (a + b + c) r ，$ a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）

A、 $V = \frac{1}{3} a b c$ B、 $V = \frac{1}{3} s h$ C、 $V = \frac{1}{3} (a b + b c + a c) h$ ， (h为四面体的高） D、 $V = \frac{1}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}) r$ （S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）

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4. 对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：
（Ⅰ）∀a，b∈A，都有a⊕b∈A
（Ⅱ）∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；
（Ⅲ）∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；
（Ⅳ）∀a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：
①A={整数}，运算“⊕”为普通加法；
②A={复数}，运算“⊕”为普通减法；
③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法．
其中可以构成“对称集”的有（　　）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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5. 记录k（k≤n）个点的颜色，称为该圆的一个“k阶段序”，当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序．若某圆的任意两个“k阶段序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）= $\{\begin{matrix} \log_{2} x (x > 0) \\ - x^{2} - 4 x (x \leq 0) \end{matrix}$ ，则此函数的“友好点对”有（　　）

A、0对 B、1对 C、2对 D、3对

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8. 定义区间[x₁ ， x₂]长度为x₂﹣x₁ ，（x₂＞x₁），已知函数f（x）= $\frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x}$ （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（　　）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、a＞1或a＜﹣3 C、a＞1 D、3

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9. 设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[ $\frac{a}{2}$ ， $\frac{b}{2}$ ]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）

A、（0， $\frac{1}{4}$ ） B、（0，1） C、（0， $\frac{1}{2}$ ] D、（ $\frac{1}{4}$ ，+∞）

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10. 已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2^x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）

A、（0，2] B、[ $\frac{1}{2}$ ，+∞） C、[ $\frac{1}{2}$ ，2] D、[ $\frac{1}{2}$ ，2]∪[4，+∞）

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11. 设函数f（x），g（x）的定义域分别为F、G，且F⊆G．若对任意的x∈F，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”．已知函数f（x）=2^x（x≤0），若g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（）

A、g（x）=2^|^x^| B、g（x）=log₂|x| C、 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ D、 $g (x) = \log_{\frac{1}{2}} | x |$

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12. 符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x₀ ，使f（x₀）＞d．下列四个函数中 $f (x) = \frac{2 a}{π} a r c \tan x$ ， $f_{2} (x) = \frac{a x |x|}{x^{2} + 1}$ ， $f_{3} (x) = \{\begin{matrix} a - \frac{1}{x} ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - a - \frac{1}{x} ， x < 0 \end{matrix}$ ， $f_{4} (x) = a \cdot (\frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1})$ 中“S函数”的个数为（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 设S为复数集C的非空子集．如果
（1）S含有一个不等于0的数；
（2）∀a，b∈S，a+b，a﹣b，ab∈S；
（3）∀a，b∈S，且b≠0， $\frac{a}{b}$ ∈S，那么就称S是一个数域．
现有如下命题：
①如果S是一个数域，则0，1∈S；
②如果S是一个数域，那么S含有无限多个数；
③复数集是数域；
④S={a+b $\sqrt{2}$ |a，b∈Q，}是数域；
⑤S={a+bi|a，b∈Z}是数域．
其中是真命题的有（写出所有真命题的序号）．

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14. 设函数f（x）= $\frac{x}{2 x + 2}$ （x＞0），观察：
f₁（x）=f（x）= $\frac{x}{2 x + 2}$ ，
f₂（x）=f（f₁（x））= $\frac{x}{6 x + 4}$ ；
f₃（x）=f（f₂（x））= $\frac{x}{14 x + 8}$ ．
f₄（x）=f（f₃（x））= $\frac{x}{30 x + 16}$
…
根据以上事实，当n∈N^*时，由归纳推理可得：f_n（1）= ．

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15. 设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m，使得对于任意x∈M（M⊆D），有（x﹣m）∈D且f（x﹣m）≤f（x），则称f（x）为M上的m度低调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a²|﹣a² ，且f（x）为R上的5度低调函数，那么实数a的取值范围为．

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16. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知任意角 $θ$ 以坐标原点 $O$ 为顶点，以 $x$ 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，且 $| O P | = r 丨 (r > 0)$ ，定义: $s i cos θ = \frac{y_{0} - x_{0}}{r}$ ，称“ $s i cos θ$ ”为“ $θ$ 的正余弦函数”，若 $s i cos θ = 0$ ，则 $sin (2 θ - \frac{π}{4}) =$ ．

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17. 若数列{a_n}满足a₂﹣a₁＞a₃﹣a₂＞a₄﹣a₃＞…＞a_n₊₁﹣a_n＞…，则称数列{a_n}为“差递减”数列，若数列{a_n}是“差递减”数列，且其通项a_n与其前n项和S_n（n∈N^*）满足2S_n=3a_n+2λ﹣1（n∈N^*），则实数λ的取值范围是

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三、解答题

18. 已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， n∈N^* ，且﹣2S₂ ， S₃ ， 4S₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对于数列 ${A_{n}}$ ，若存在一个区间M，均有A_i∈M，（i=1，2，3…），则称M为数列 ${A_{n}}$ 的“容值区间”，设 $b_{n} = s_{n} + \frac{1}{s_{n}}$ ，试求数列{b_n}的“容值区间”长度的最小值．

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四、综合题

19. 记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max ${3 ， \sqrt{10}} = \sqrt{10}$ ．已知函数f（x）=max{x²﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax²+x}．

(1)、求函数f（x）在 $[\frac{1}{2} ， 1]$ 上的值域；

(2)、试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜ $\frac{3}{2}$ x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

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20. 若存在常数k（k∈N^* ， k≥2）、q、d，使得无穷数列{a_n}满足 $a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + d ， \frac{n}{k} \notin N^{*} \\ q a_{n} ， \frac{n}{k} \in N^{*} \end{matrix}$ 则称数列{a_n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b_n}为“段比差数列”．

(1)、若{b_n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．
①当q=0时，求b₂₀₁₆；
②当q=1时，设{b_n}的前3n项和为S_3n ，若不等式 $s_{3 n} \leq λ \cdot 3^{n - 1}$ 对n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围；

(2)、设{b_n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b_n}，并说明理由．

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难点十二 推理与新定义问题

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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