难点十一解析几何中的范围、最值和探索性问题

试卷更新日期：2018-03-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. F₁、F₂为椭圆的两个焦点，以F₂为圆心作圆F₂ ，已知圆F₂经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF₁恰与圆F₂相切，则该椭圆的离心率e为（　）

A、 $\sqrt{3}$ ﹣1 B、2﹣ $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜ $\frac{1}{3}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A、（0， $\frac{1}{3}$ ） B、（ $\frac{1}{3}$ ， 1） C、（0， $\frac{2}{3}$ ） D、（ $\frac{2}{3}$ ， 1）

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3. 直线y=k（x﹣1）与A（3，2）、B（0，1）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）

A、[﹣1，1] B、[﹣1，3] C、（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D、（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

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4. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M在以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )

A、 $(1 ， \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3} ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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5. 已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} \neq 0$ 。若 $| k_{1} | + | k_{2} |$ 的最小值为1，则椭圆的离心率为( )

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，过点F₁且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF₂、BF₂分别交y轴于P、Q两点，若△PQF₂的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 设P为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上的动点，F₁、F₂为椭圆C的焦点，I为△PF₁F₂的内心，则直线IF₁和直线IF₂的斜率之积（）

A、是定值 B、非定值，但存在最大值 C、非定值，但存在最小值 D、非定值，且不存在最值

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8. 已知点P为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12}$ =1上的动点，EF为圆N：x²+（y﹣1）²=1的任一直径，求 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 最大值和最小值是（）

A、16，12﹣4 $\sqrt{3}$ B、17，13﹣4 $\sqrt{3}$ C、19，12﹣4 $\sqrt{3}$ D、20，13﹣4 $\sqrt{3}$

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9. 已知点F为抛物线y ²=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）

A、6 B、2+4 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{13}$ D、4+2 $\sqrt{5}$

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10. 抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB= $\frac{π}{3}$ ．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则 $\frac{| M N |}{| A B |}$ 的最大值是（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{6}$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且 $α \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ ，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）

A、 $[\sqrt{3} - 1 ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F₁F₂ ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e₁ ， e₂ ，则e₁•e₂的取值范围是（）

A、（ $\frac{1}{3}$ ，+∞） B、（ $\frac{1}{5}$ ，+∞） C、（ $\frac{1}{9}$ ，+∞） D、（0，+∞）

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二、填空题

13. 已知AC，BD为圆O：x²+y²=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1， $\sqrt{2}$ ），则四边形ABCD的面积的最大值为．

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14. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是

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15. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）²+y²=2（a＞0）上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是．

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16. 如图所示，过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7，则△A′B′F的面积为．

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三、解答题

17. 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点F且垂直于长轴的弦长为 $\sqrt{2}$ ．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．
（i）求证：∠AFM=∠BFN；
（ii）求△MNF面积的最大值．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{m}$ =1（m＞0）．

（Ⅰ）若m=2，求椭圆C的离心率及短轴长；
（Ⅱ）若存在过点P（﹣1，0），且与椭圆C交于A、B两点的直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，求m的取值范围．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A₁、A₂分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线 $x = 2 \sqrt{2}$ 上一动点，直线A₁S交椭圆C于点M，直线A₂S交椭圆于点N，设S₁、S₂分别为△A₁SA₂、△MSN的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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20. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；
（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

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难点十一 解析几何中的范围、最值和探索性问题

一、单选题

二、填空题

三、解答题

难点十一解析几何中的范围、最值和探索性问题